Texte officiel du programme
En application directe de la section sur les fonctions de deux ou trois variables, on présente la définition des courbes de $\mathbb{R}^2$ et surfaces de $\mathbb{R}^3$ par une équation cartésienne. Le passage (dans les deux sens) d’une équation cartésienne à un paramétrage peut être étudié sur des exemples, mais le cas général est hors programme.
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Soit \({\cal E}\) l’ellipse d’équations : ...
exo7 4930
Soit \(D\) la droite d’équations ...
exo7 4931
Soit \({\cal P}\) le paraboloïde d’équation \(z= xy\). Montrer que par tout point ...
exo7 4932
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations : ...
exo7 4933
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation ...
exo7 4934
Équation d’un cône
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la surface d’équation : ...
exo7 4935
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4938
On considère un point \(F\), un plan \(P\) ne passant pas par ...
exo7 4939
Dans l’espace, on considère un point \(F\), une droite \(D\) ne passant pas par ...
exo7 4941
Dans l’espace, soit \(P\) le plan d’équation \(z=0\) et ...
exo7 5010
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon ...
exo7 5013
Soient \(M\), \(M'\) deux points d’une parabole ...
exo7 5014
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2 = 2px\).
exo7 5016
Soit \(\cal H\) une hyperbole de foyer \(F\). Trouver l’enveloppe des cordes ...
exo7 5047
Équation de la surface de révolution engendrée par la rotation de \(\Gamma\) autour de ...
exo7 5048
Soit la courbe d’équations dans \(\R^3\) : ...
exo7 5049
On considère la surface \({\cal S}\) d’équations paramétriques : ...
exo7 5050
Dessiner la surface \({\cal S}\) d’équations paramétriques : ...
exo7 5051
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation ...
exo7 5052
Que dire d’une surface \({\cal S}\) telle que toutes les normales sont concourantes ? (cf ex. ...
exo7 5053
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne \(z^2-x^2-y^2 = 1\).
exo7 5054
Soit \({\cal S}\) la surface d’équations paramétriques : ...
exo7 5055
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle intersection de la sphère d’équation ...
exo7 5056
Soit \({\cal S}\) la surface d’équation cartésienne : ...
exo7 5057
Soit \({\cal S}\) une surface d’équation cartésienne \(z=f(\rho)\) où ...
exo7 5058
Soient \({\cal S}_1\), \({\cal S}_2\) les surfaces d’équations ...
exo7 5059
Soit \({\cal S}\) la sphère de centre \(A=(a,0,0)\) et de rayon ...
exo7 5060
Soit \(A=(0,1,0)\) et \({\cal S}\) la surface constituée des cercles verticaux de ...
exo7 5061
On considère la droite \(\Delta\) d’équations : \(x=a\), ...
exo7 5062
Soit \((\Gamma)\) : ...
exo7 5514
Soit \(M(x,y,z)\) un point de \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé. Détermin ...
exo7 5525
La courbe orthoptique d’une courbe \((\mathcal{C})\) est le lieu des points du plan d’où l’on peut mener (au moins ...
exo7 5540
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Eléménts ca ...
exo7 5541
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=\left(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)\). ...
exo7 5542
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\). Nature et é ...
exo7 5543
Etudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 5546
Droite de Simson. Soit \((A,B,C)\) un triangle et ...
exo7 5547
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([A,B]\). ...
exo7 5548
Soit, dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé ...
exo7 5549
Que vaut l’excentricité de l’hyperbole équilatère (une hyperbole est équilatère si et seulement si ses asymptotes sont perpendiculaires) ?
exo7 5550
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5551
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5552
Equation cartésienne de la parabole tangente à \((0x)\) en \((1,0)\) et à ...
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Etudier les courbes dont une équation en repère orthonormé est :
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Etudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est
exo7 5817
Montrer que toute courbe de degré inférieur ou égal à \(2\) admet une représentation paramétrique de la forme
...exo7 5819
(Droite de Simson) Soient \(ABC\) un triangle et ...