Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
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Un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme. Exemples : symétries orthogonales, cas particulier des réflexions. Caractérisations par la conservation du produit scalaire, par l’image d’une base orthonormée. | |
Groupe orthogonal d’un espace euclidien $E$. | Notation $\mathrm{O}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable par une isométrie vectorielle. |
exo7 3747
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3748
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3749
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).
exo7 3750
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3761
On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3774
Quels sont les endomorphismes de \(E\) à la fois auto-adjoints et orthogonaux ?
exo7 3801
On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 4970
Dans un rond on donne les plans \(P : x+y+z = 1\) et \(Q : 2x-y+z=1\). C ...
exo7 4979
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles tels que ...
exo7 4980
Déterminer toutes les isométries
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5504
Dans \(\Rr^3\), espace vectoriel euclidien orienté rapporté à la base orthonormée directe ...
exo7 5797
Trouver tous les endomorphismes de \(\Rr^3\) vérifiant ...
exo7 5802
Soit \(f\) un endomorphisme d’un espace euclidien de dimension \(n\) qui conserve ...
exo7 5803
Soit \(P\) le plan de \(\Rr^4\) d’équations ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 6387
Soit \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\). Montrer que ...
exo7 6389
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine et \(\tau_l\) la réflexion par rappo ...
exo7 6390
Notons \(R(a,\alpha)\) la rotation d’angle ...
exo7 6391
Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).
exo7 6394
Etudier la composée de deux rotations, puis la composée de deux réflexions glissées et finalement la composée d’une rotation et d’une réflexion gli ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...
exo7 7122
Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les cotés opposés sont deux à deux de même longueur. Soit ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...
exo7 7157
Soit \(\mathcal S \subset \R^2\) le graphe de la fonction sinus. Décrire les isométries de ...
exo7 7158
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle et soit \(g\) une isométrie de ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7459
Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?
exo7 7460
On munit le plan affine euclidien d’un repère orthonormé \((O,i,j)\) et on l’identifie au plan complexe. Écrire à ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7473
Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l’espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
exo7 7476
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7477
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7481
Construire un triangle équilatéral \(ABC\) connaissant \(A\) et sachant que ...
exo7 7482
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...