Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Développements limités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition de la notation $o(x^n)$ pour désigner des fonctions négligeables devant la fonction $x \mapsto x^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$, au voisinage de 0 ou de l’infini. | On se ramène, aussi souvent que nécessaire, à la limite d’un quotient. |
Définition des développements limités en 0. Unicité des coefficients d’un développement limité. | Les problèmes de développement limité en un réel non nul ou en $\pm\infty$ sont ramenés en 0. |
Opérations sur les développements limités : somme, produit. | L’obtention d’un développement limité pour une fonction composée est présentée et mise en œuvre sur des exemples simples. |
Primitivation d’un développement limité. | |
Formule de Taylor-Young : existence d’un développement limité à l’ordre $n$ pour une fonction de classe $\mathscr{C}^n$. | La formule de Taylor-Young est admise. |
Développements limités usuels au voisinage de 0 : $\exp$, $\cos$, $\sin$, $x \mapsto 1/(1 + x)$, $x \mapsto \ln(1 + x)$, $x \mapsto (1 + x)^\alpha$. | Les exercices de calcul de développements limités ont pour objet de faciliter l’assimilation des propriétés fondamentales et ne doivent pas être orientés vers la virtuosité calculatoire : sur les exemples numériques, on évitera tout développement limité au-delà de l’ordre 3. |
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4026
Calculer \(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac k{n^2}\) puis ...
exo7 4027
Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour \(x=0\) et la position de la courbe par rapport à ...
exo7 4028
On pose : \(f(x) = 1/(1+x)\), \(g(x) = e^{-x}\), ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4032
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 4034
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable. Chercher ...
exo7 4035
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...
exo7 4038
On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...
exo7 4040
Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...
exo7 4041
Soit \(u_n\) une suite réelle telle que pour tout \(n\) on ait ...
exo7 4042
Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...
exo7 4045
Trouver \(a,b\in\R\) tels que \[\cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}\] soit un ...
exo7 4046
Trouver \(a,b\in\R\) tels que \(\sin x - \frac{x+ax^3}{1+bx^2}\) soit infiniment ...
exo7 4047
Simplifier \(\arccos(1-2x^2)\), en trouver un équivalent pour \(x \to 0\), puis d ...
exo7 4048
Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4051
Chercher un équivalent simple en \(0^+\) de ...
exo7 4053
Soit \(f(x) = \ln(1+x) - x\).
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4226
Pour \(0<a<b\), déterminez ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4321
Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4327
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4478
Montrer que \(n! = \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\frac 1{12n} + O\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\) ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5427
Déterminer les développements limités à l’ordre demandé au voisinage des points indiqués :
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5429
Etude au voisinage de \(+\infty\) de \(\sqrt{x^2-3}-\sqrt[3]{8x^3+7x^2+1}\).
exo7 5430
Soit \(f(x)=\frac{x}{1-x^2}\). Calculer \(f^{(n)}(0)\) en moins de ...
exo7 5431
Equivalent simple en \(+\infty\) et \(-\infty\) de ...
exo7 5432
Développement asymptotique à la précision \(\frac{1}{n^3}\) de ...
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5434
Soient \(a>0\) et \(b>0\). Pour ...
exo7 5437
Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...
exo7 5438
Montrer que l’équation \(x+\ln x=k\) admet, pour \(k\) réel donné, une unique sol ...
exo7 5439
Soit \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}\) si \(x\neq0\) et ...
exo7 5440
Étude au voisinage de \(0\) de \(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}\) (existenc ...
exo7 5441
La fonction \(x\mapsto\Arccos x\) admet-elle en \(1\) (à gauche) un développement ...
exo7 5442
Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...