Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles. | |
Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un pavé ouvert du plan. | Dans un énoncé on ne demandera jamais de montrer qu’une fonction est de classe $\mathscr{C}^1$. Utilisation des dérivées partielles premières pour évaluer une petite variation de la valeur d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ découlant de petites variations sur les variables. |
Définition du gradient ; calcul dans un repère orthonormal en coordonnées cartésiennes. Dérivation d’une expression de la forme $t \mapsto f(x(t), y(t))$, la fonction $f$ étant de classe $\mathscr{C}^1$ et les fonctions $x$, $y$ étant dérivables. | On pourra donner sans démonstration l’interprétation graphique du gradient. |
Définition de point critique. Lien avec l’existence éventuelle d’extremum dans le cas d’une fonction définie sur un pavé ouvert et admettant des dérivées partielles. | Toute condition suffisante d’extrémalité est hors programme. Application à l’ajustement affine par les moindres carrés. |
exo7 1819
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=x^2-xy-2y^2\) au point \(P(1,2)\) dan ...
exo7 1820
Calculer les différentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition :
exo7 1822
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)\) à l’origine dans une direction form ...
exo7 1823
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 1824
Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions suivantes au point \((x_0,y_0)\) donné. ...
exo7 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
exo7 1826
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
exo7 1827
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)\). ...
exo7 1829
Déterminer les extremums de \(f (x, y) = xy (1-x^{2}-y{2})\) sur \([0, 1]^{2}\). ...
exo7 1830
Soit \(f (x, y) = x^{2} + xy + y^{2}-3x-6y\). Montrer que \(f\) admet au plus un ...
exo7 1832
Soit \(f (x, y) = (x^{2}-y) (3x^{2}-y)\).
Montrer que \(f\) admet un minim ...
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1834
Déterminer les extrémums de \(f:(x,y,z)\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.\)
exo7 1836
Si \(f\) est concave sur un ouvert convexe \(U\subset {\Rr}^{2}\) et si : ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1838
Chercher les extrémums sur \({\Rr}^{2}\) des applications : ...
exo7 1839
Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1845
Résoudre à l’aide des coordonnées polaires l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 1846
Résoudre l’équation des cordes vibrantes : ...
exo7 1847
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \[x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f\] ...
exo7 1849
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) homogène de degr ...
exo7 1850
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr\) dérivable. On pose ...
exo7 1851
Soit \(f : \Rr^{2} \rightarrow \Rr\) une fonction \(C^{2}\). On pose ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1853
Soient \(f~:\,\R^2 \to \R\) différentiable et \(g~:\,\R \to \R\) définie par ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1855
Soit \(D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\). On cherche les fonctions ...
exo7 1856
Déterminer les fonctions \(f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)\) vérifiant ...
exo7 1857
Soient \(f:\R^n \to \R\) et \(g:\R^n \to \R\) deux fonctions différentiables. En ...
exo7 1861
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) admettant des dérivées partielles continues en ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 1863
Soit \(f:\R^n\to \R\) une application différentiable. Montrez que si ...
exo7 2503
Soit \(f\) une application \(f\) de \(E\) dans ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2554
Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes:
exo7 2622
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition \(D_f\). Pour chacune des fonctions, ca ...
exo7 2623
Soit \(f\) la fonction sur \(\R^2\) définie par ...
exo7 2624
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=(x^2+y^2)^x\) pour ...
exo7 2625
Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2627
On considère les fonctions \(f\colon \R^2\longrightarrow \R^3\) et ...
exo7 2628
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point \((x_0,y_0,z_0)\) donné:
exo7 2629
On demande à un étudiant de trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation \(z=x^4-y^2\) au point ...
exo7 2630
Trouver les points sur le paraboloı̈de \(z=4x^2 +y^2\) où le plan tangent est parallèle au plan ...
exo7 2631
Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...
exo7 2632
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...