Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 4 – Nombres complexes
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Ce chapitre est entièrement nouveau pour la majorité des étudiants.
L’ensemble des nombres complexes est introduit pour munir le plan d’opérations compatibles avec celles déjà pratiquées sur la droite réelle. Cela permet de trouver, sans exhaustivité, des solutions à des équations algébriques. Ces équations seront essentiellement à coefficients réels, de petit degré et utiles par exemple pour alléger l’étude des suites réelles récurrentes linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- a) Écriture algébrique des nombres complexes 98
- b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 119
- c) Application aux équations du second degré. 48
exo7 6
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : ...
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 62
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensemble ...
exo7 63
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et on identifie \(P\) à l’ensem ...
exo7 64
Soit \(C\) la courbe d’équation \(x^2-xy+y^2 = 0\) dans le plan ...
exo7 6444
Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 6663
Montrer que la fonction \(f(z)=\tan z\) définie par ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 67
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan co ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 69
Montrer que pour \(u,v \in \Cc\), on a \(|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).\) Donner ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6977
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7
Effectuer les calculs suivants :
exo7 70
Soient \(z,z' \in \Cc\) tels que ...
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7006
Soit \(ABC\) un triangle direct. Soient \(P, Q, R\) tels que ...
exo7 7008
On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou align ...
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 7148
Soit \(a\in \C^*\), et soit \(f\) la similitude directe du plan représentée par ...
exo7 7151
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...
exo7 7163
Soit \(ABC\) un triangle. Montrer qu’il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...
exo7 72
Soit \(s=(1-z)(1-iz)\).
exo7 7209
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).
exo7 7210
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(4z^2+8\lvert z\rvert -3=0\).
exo7 7211
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(iz^2-2\bar{z}+2-i=0\).
exo7 7213
Soit \(a\in\C\). Résoudre sur \(\C\) l’équation ...
exo7 7281
Étant donnés quatre points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 73
Soit \(A\) un point du plan d’affixe \(\alpha = a+ib\). Déterminer l’ensemble des ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 75
Déterminer les nombres complexes \(z\in \Cc^{*}\) tels que les points d’affixes ...
exo7 7518
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe non nul. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 7520
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux nombres réels. En utilisant les formules ...
exo7 7521
Déterminer les racines carrées et les racines cubiques de \(i\).
exo7 7549
Trouver la valeur minimale de \(\vert f(z) \vert\) où \(f(z) = e^{z^{2}}\) sur le ...
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 7585
Résoudre dans \(\Cc\), l’équation \(z^6+2z^3-3=0\).
exo7 76
Résoudre dans \(\Cc\) le système: ...
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...