Programme de mathématiques BCPST, seconde année
c) Matrices et applications linéaires
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Matrice d’une application linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel de dimension finie, une base ayant été choisie dans chacun d’eux. | |
Matrice de la somme de deux applications linéaires, du produit par un scalaire d’une application linéaire, de la composée de deux applications linéaires, de l’application réciproque. | On montre qu’un endomorphisme est bijectif si, et seulement si, sa matrice, dans une base quelconque, est inversible, et qu’il suffit pour cela de disposer d’une matrice inverse à gauche ou à droite. |
Définitions du noyau et de l’image d’une matrice. Lien entre noyau et image d’une matrice et d’une application linéaire représentée par cette matrice dans des bases. | Toute identification entre vecteur de $\mathbb{K}^n$ et sa représentation matricielle dans une base, même la base canonique, est à éviter. |
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1484
Quelle est la transformation de \(\Rr^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 3400
Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
Interprétation de filtres classiques
On donne les quatre noyaux suivants : ...