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On supposera connues les relations suivantes : ...

Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...

Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...

Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...

Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...

Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0\).

Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...

Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...

Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...

Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]

Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...

Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...

Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …

Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.

Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...

Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...

Soit \(P = X^4 + aX^2 + bX + c\) de racines \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). CNS p ...

Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...

Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...

Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...

Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...

Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.

Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).

Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...

Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...

Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...

Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...

Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).

Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(X^3-2X^2 + X + 3\). Calculer ...

Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.

Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)

Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...

Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...

On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...

Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...

Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...

Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...

Soit \((a_k)_{1\leq k\leq 5}\) la famille des racines de \(P=X^5+2X^4-X-1\). Calc ...

Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).

Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...

Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...

Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).

Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...

Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...

Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...

Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...

Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?

Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...