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Montrer que les transformations géométriques qui conservent globalement un rectangle forment un groupe. Faire l’étude de ce groupe.

Étudier le groupe des isométries du carré.

Montrer qu’il existe une seule table possible pour un groupe d’ordre \(3\). Est-ce vrai pour ...

Montrer que si \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes de ...

Si \(G\) est un groupe, on appelle centre de \(G\) et on note ...

Déterminer le sous-groupe de \(\Zz\) engendré par les entiers 24, 36 et \(-54.\) ...

Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe ...

Soit \(G\) un groupe engendré par \(a\) et ...

Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...

Soit \(G\) un groupe. Montrer que l’ensemble \(Aut(G)\) des automorphismes de ...

Si \(K\) est un sous-groupe de \(H\) et \(H\) un ...

Soit \((G,.)\) un groupe. Montrer l’équivalence de:

Quel est le plus petit sous-groupe de \((\Rr,+)\) (resp. de \((\Rr^*,\times)\)) c ...

On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans ...

Soit le groupe \(G=\Zz/12\Zz\).

Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres re ...

Le groupe \((\Q ,+)\) est-il monogène ?

Décrire tous les homomorphismes de groupes de \({\Zz}\) dans \({\Zz}\). Détermine ...

Montrer que \(\mathbb{U}_2 \times \mathbb{U}_3\) est isomorphe à \(\mathbb{U}_6\) ...

Soit \(G\) un groupe.

Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...

Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux. On définit sur ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(a\in A\) est nilpotent s’il existe ...

\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Soit \(\mathcal{J}=\left\{ P\in \Zz\left[ X\right] :P\left( 0\right) \in 2 \Zz\right\} .\)

Soit \((A,+,\times )\) un anneau commutatif, on dit que \(I\subset A\) est un idé ...

\(A\) est nommé idéal de \(A\) lorsque pour tout ...

Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...

On suppose que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G,\ast)\) sur ...

Soient \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pn\) avec \(p\) p ...

Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre \(4 .\)

Montrer que tout morphisme de groupes de \(\Q\) dans un groupe fini \(G\) est tri ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) ( ...

Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Montrer qu’il n’existe aucun élément d’ordre 3 dans le groupe \(\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.\)

Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...

Soit \(G\) le groupe-produit ...

Soit \(f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz\) définie par ...

Les groupes \(\Zz/8\Zz,\) \(\left(\Zz/2\Zz\right)\times \left(\Zz/4\Zz\right)\) e ...

On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...

Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...

Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d’y parvenir ? Même question pour 12 ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...

Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...

Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...

Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...