Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Intégration
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Cette section a pour principal objectif de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment et d’en établir les propriétés principales. Elle offre l’occasion de revenir sur les techniques de calcul intégral, mais aussi de traiter des exercices d’esprit plus théorique.
Les méthodes de calcul approché d’intégrales donnent l’occasion de revenir sur la problématique de l’approximation. On pourra ainsi comparer les performances de la méthode des rectangles et de celle des trapèzes.
La notion de continuité uniforme est introduite uniquement en vue de la construction de l’intégrale. L’étude systématique des fonctions uniformément continues n’est pas un attendu du programme.
Le corps $\mathbb{K}$ est pris égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Le professeur peut soit se placer d’emblée dans le cadre des fonctions à valeurs complexes, soit traiter en premier lieu le cas réel avant de procéder à une brève extension.
- a) Continuité uniforme 6
- b) Fonctions continues par morceaux 10
- c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 366
- d) Sommes de Riemann 18
- e) Lien entre intégrale et primitive 43
- f) Formules de Taylor globales 14
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4249
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4257
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue. Montrer que ...
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4262
Soit \(a<0<b\) et \(f\) continue sur ...
exo7 4265
...
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4272
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4274
Soit \((a_k)\) une suite de réels telle que \(\sum_{k=0}^n a_k = 0\). Étudier la ...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4276
Convergence et calcul de \(\int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme ...
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4279
Calculer par récurrence : \(I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}}\).
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4290
Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4303
On admet que \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Calculer les intégrales : ...
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4305
Existence de \(\int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x\).
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...