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Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)\).

Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ; on définit une suite ...

Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...

Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite ...

Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= (1-u_n)^2\) (discuter suivant les valeurs de ...

Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...

Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...

Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...

Étudier dans \(\mathbb{C}\) une suite \((u_n)\) telle que ...

On donne \(A\geq 0\), \(B\geq 0\), \(u_0\geq 0\) ...

On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]

En utilisant les méthodes de l’exercice précédent, étudier les suites définies par : ...

Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence ...

Soit \(A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\) ( ...

Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...

Calculer, lorsqu’elles convergent, les limites des suites définies par :
\(u_n=n-\sqrt{n^2-n}\) ...

Montrer que les suites définies pour \(n\geq1\) par :
...

Soit \((u_n)_{n\in\N}\) la suite de nombres réels définie en posant ...

Etudier la limite des suites suivantes : \(a_n=\cos{(\dfrac{2^n}{n!})}\); ...

Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser ...

Soit \(a>0\). On définit la suite \((u_n)_{n\geq 0}\) par ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

On considère les deux suites : \[u_n =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N,\] ...

Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On ...

Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).

Soit \(x\) un réel.

Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :

Soit \(n \geq 1\).

Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...

Soient \(a_0\) et \(b_0\) deux réels fixés. On définit par récurrence les suites ...

Soit \((u_n)\) une suite qui tend vers \(0\). On pose ...

Déterminer les limites de \(\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)}\) et \(\sqrt[n]{n^2}\) ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn\text{ }}\) une suite réelle dont tous les termes sont non nuls et telle que : ...

Étudier la suite définie par récurrence : \[u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}\]

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) bijective, telle que ...

Soit \(\phi :\Nn\rightarrow \Nn\) injective; montrer que ...

Montrer qu’entre deux réels distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que \(\Qq\) est dense dans ...

Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\).

Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...

Soit \(u\) une suite bornée d’un espace vectoriel normé de dimension finie ayant une unique valeur d’adhérence. Mo ...

Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite bornée. On pose \(v_{n}=u_{n+1}-u_{n}\) et ...

Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...

Soit \(z\) un nombre complexe. Déterminer ...

On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...