Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
B - Primitives et équations différentielles linéaires
Rechercher dans cette partie du programme- a) Calcul de primitives 119
- b) Équations différentielles linéaires du premier ordre 103
- c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 82
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5480
On considère l’équation différentielle \((E)\) : ...
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 5876
Soit \(f\) une application de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5880
Soit \(A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\). Montrer que pour toute solution de ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 6334
On considère l’équation \(x x'' = (x')^2 +1\) sur \(\Rr\).
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6336
Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compri ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6349
Trouver les solutions du système \(x' = -y\), ...
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6357
On considère les équations ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6360
On considère l’équation du pendule \(x''+\sin x=0\).
On sait que les solutions maximales sont défin ...
exo7 6361
Soit \(V\) un champ de vecteurs défini sur \(\Omega\subset\Rr^n\). On dit qu’une ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
exo7 6809
Introduction. Si \(A\) est une matrice \(n\times n\) à coef ...
exo7 6810
Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6864
Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
exo7 6865
Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 6991
Résoudre sur \(\R\) les équations différentielles suivantes:
exo7 6992
Déterminer toutes les fonctions \(f:[0;1]\to\R\), dérivables, telles que ...