Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Procédés sommatoires discrets
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L’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
L’étude des familles sommables est menée dans un deuxième temps. On prolonge les calculs de sommes finies effectués en début d’année, en mettant en évidence un cadre permettant de sommer « en vrac » une famille infinie et procurant ainsi un grand confort de calcul. Dans le cas d’une famille positive, le calcul dans $[0, +\infty]$ se suffit à lui-même et contient l’étude de la sommabilité. Dans le cas d’une famille quelconque, il est préconisé de commencer par un calcul formel à justifier dans un second temps.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.
- a) Convergence et divergence 205
- b) Séries à termes positifs ou nuls 139
- c) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes 61
- d) Théorème des séries alternées 24
- e) Familles sommables de nombres réels positifs 5
- f) Familles sommables de nombres complexes 2
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4360
On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4415
Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?
exo7 4416
Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4418
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...
exo7 4419
Soient \(\sum u_n\), \(\sum v_n\), \(\sum w_n\) ...
exo7 4420
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4422
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...
exo7 4423
L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...
exo7 4424
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...
exo7 4425
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...
exo7 4426
Pour \(n \in \N^*\) on note \(p_n\) le nombre de chiffres de l’écriture décimale ...
exo7 4427
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...
exo7 4428
Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).
exo7 4429
On pose \(u_n = \sum_{k=n}^\infty \frac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\). Étudier la convergence de la série ...
exo7 4430
Calculer les sommes des séries suivantes :
exo7 4431
Convergence et somme de la série de terme général ...
exo7 4432
Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...
exo7 4433
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4434
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...
exo7 4435
Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4437
Soit \(a \in \R\).
exo7 4438
Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...
exo7 4440
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...
exo7 4441
Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4443
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...
exo7 4445
Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...
exo7 4447
Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).
exo7 4448
Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).
exo7 4449
Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...
exo7 4450
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...
exo7 4451
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...
exo7 4452
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...
exo7 4453
On considère une suite \((u_n)_{n\ge 1}\) telle que la série ...
exo7 4454
Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que ...
exo7 4455
Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...
exo7 4456
On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4457
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...
exo7 4458
Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite positive. On pose ...