Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
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Le but de cette partie, qu’il convient d’illustrer par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l’algèbre linéaire permet d’étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et d’utiliser l’intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Présentation informelle de la structure affine d’un espace vectoriel : points et vecteurs. Translation. | L’écriture $B = A + \vec{u}$ est équivalente à la relation $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. |
Sous-espace affine d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines. | Sous-espaces affines de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. |
Notion d’équation linéaire, i.e. de la forme $u(x) = a$ où $u \in \mathscr{L}(E, F)$, $a \in F$. L’ensemble des solutions est soit l’ensemble vide, soit un sous-espace affine dirigé par $\operatorname{Ker} u$. | Retour sur les systèmes linéaires, les équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, les suites arithmético-géométriques, la recherche de polynômes interpolateurs. |
Classification linéaire par un perceptron
Expliquer à l’aide d’un graphique ce que réalise le réseau de neurones suivant :
exo7 1957
Les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de ...
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1959
On considère les deux droites du plan \(D : 2x-3y+4 = 0\) et ...
exo7 1961
On considère dans \(P\) trois points \(A\), ...
exo7 1963
Soient \((A_1,A_2,A_3)\) et \((B_1,B_2,B_3)\) deux systèmes de trois points align ...
exo7 1972
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine. Déterminer l’ensemble des points ayant mêmes coordon ...
exo7 1973
Soit \(R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})\) un repère cartésien d’un espace affine. Soient ...
exo7 1974
Soient \((D_{i})_{i = 1 \ldots 4}\) quatre droites du plan affine sécantes deux à deux en six points distincts. Si ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 1976
Soient \(A, B, C\) trois points non alignés d’un plan affine.
exo7 1977
Soit \(E\) un espace affine et f une application affine de \(E\) dans ...
exo7 1978
Soient \(f\) et \(g\) deux applications affines de ...
exo7 1979
Reconnaître les application affines de \(\Rr^{3}\) suivantes : ...
exo7 1980
Soit \(E\) un espace affine, \(f\) une application affine de ...
exo7 1981
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine de ...
exo7 1992
On considère la famille des droites \(D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0\), où ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2000
Soient \(A, B, C\) les sommets d’un triangle équilatéral de coté \(1\). Détermine ...
exo7 2001
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2008
Soit \(ABCD\) un carré direct et \(M\) un point de la droite ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2012
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite ...
exo7 2013
Quelle est la nature de l’intersection des trois plans suivants? Si c’est un point en donner les coordonnées, si c’est une droite en donner un vect ...
exo7 2014
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d’intersection et si elles sont ...
exo7 2015
Dans chacun des cas suivants dire si la droite \((D)\) et le plan \((P)\) sont pa ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2017
Soient \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\) trois droites ...
exo7 2018
On considère les quatre points suivants: \(A(2,0,0)\), \(B(-1,\sqrt{3},0)\), ...
exo7 2019
Donner une condition sur \(m\) pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. ...
exo7 2020
On considère la famille de plans \((P_m)_{m\in \Rr}\) définis par les équations cartésiennes : ...
exo7 2021
Déterminer la distance du point \(A\) au plan \((P)\)
exo7 2022
On considère les deux droites \((D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\\ -x-y+2=0 \end{array} \right.\) et ...
exo7 2023
On se donne \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) aya ...
exo7 2024
Déterminer les plans bissecteurs de :
\(P: x+y+z+3=0\) et ...
exo7 2025
Déterminer l’expression analytique de la réflexion \(s\) de plan \(x + y-z = 1\). ...
exo7 2026
Déterminer la distance du point \(M = (1, 2, 3)\) aux droites ...
exo7 2027
Soit deux plans ...
exo7 2028
Écrire l’équation du plan passant par la droite ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2030
Soit les droites \(D\) et \(D'\) non coplanaires : ...
exo7 2031
On considère les 4 points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...