Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
exo7 5471
Condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), ...
exo7 5505
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer un repère de la droite \((D)\) ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5517
Angle des plans \(x+2y+2z=3\) et \(x+y=0\).
exo7 5521
Déterminer les différents angles d’un tétraèdre régulier (entre deux faces, entre deux arêtes et entre une arête et une face).
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5530
Construire les courbes suivantes :
exo7 5547
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([A,B]\). ...
exo7 5551
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 563
Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...
exo7 572
Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).
exo7 575
Calculer suivant les valeurs de \(x\) : ...
exo7 5820
\((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\). ...
exo7 5823
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5826
Déterminer la quadrique contenant le point \(A(2,3,2)\) et les deux paraboles ...
exo7 5832
Montrer que l’arc paramétré ...
exo7 5850
Calculer \(\underset{\alpha\in]0,\pi[}{\text{Inf}}\left\{\underset{n\in\Zz}{\text{Sup}}|\sin(n\alpha)|\right\}\). ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 6863
Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation : \[\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1.\]
Indica ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6976
Soit \(x\) un réel fixé. Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 6983
Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7011
Montrer \(\forall n \in \N,\: \sum_{k=0}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\).
exo7 7017
Montrer que pour tout \(n\in \N\), la somme des \(n\) premiers entiers positifs i ...
exo7 7018
Montrer : \(\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|\).
exo7 7019
Soit \(a \in \R_+\). Montrer ...
exo7 7026
Résoudre les systèmes suivants, en précisant auparavant le domaine de résolution.
...
exo7 7027
La somme de deux nombres \(x\) et \(y\) est ...
exo7 7028
Trouver les dimension d’un triangle rectangle d’hypoténuse 13 cm et d’aire 30 cm\({}^2\).
exo7 7029
Dans une station de métro, les usagers ont à leur disposition un tapis roulant de 300m de long. Un piéton marchant à vitesse constante fait l’aller ...
exo7 7031
Résoudre dans \(\R_+^*\) le système suivant: ...
exo7 7034
Résoudre le système suivant: \[\begin{cases} 8^x = 10y\\ 2^x = 5y \end{cases}\]
exo7 7035
Montrer que pour tout \(n>1\) on a l’inégalité ...
exo7 7036
Montrer que pour tout entier \(N\geq 2\), ...
exo7 7037
Montrer que pour tous \(a,b > 0\) distincts et tout \(n >1\), on a l’inégal ...
exo7 7040
On définit une suite \((C_n)_{n\in\N}\) par \(C_0=1\) et pour tout naturel ...
exo7 7050
Soit \(ADC\) un triangle équilatéral et \(B\) le symétrique de ...
exo7 7060
Soit \([AB]\) un segment et \(M\), \(N\) deux po ...
exo7 7063
On donne deux cercles \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) de rayons distincts, ...
exo7 7069
À l’extérieur d’un triangle \(BOA\) on construit deux triangles rectangles :
Le triangle ...
exo7 7070
On considère un carré \(ABCD\), et un cercle \(\mathcal C\) passant par ...
exo7 7071
Soit \(A\) un point quelconque du diamètre d’un cercle \(\mathcal C\) et ...
exo7 7072
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le centre de son cercle inscrit, dont on note ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7114
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\), ...