Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
d) Ensemble des matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n\geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | Application au calcul de puissances. |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. |
Inverse d’une transposée. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX=Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 2750
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. ...
exo7 2754
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2756
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2757
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2759
Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières différentes : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 2776
On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) ...
exo7 3361
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Q)\). Comparer les énoncés :
1: ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3388
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Z)\). Montrer que \(M \in GL_n(\Z)\) si et seulement ...
exo7 3408
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
...
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3414
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3427
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(A' = ((-1)^{i+j}a_{ij})\). Co ...
exo7 3428
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3432
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 3449
Soit un déterminant symétrique réel d’ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs. Montrer que ce déterminan ...
exo7 3450
Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3452
Déterminer les cas d’annulation des déterminants suivants, puis les calculer :
exo7 3453
Soient \({a,b,c,d} : \R \to \R\) des fonctions dérivables et ...
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3455
Soit \(n\in\N^*\), \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{(\R^*_+)}^n\), ...
exo7 3457
On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\), \(\alpha = e^{i\pi/n}\) et ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...