Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
Classification linéaire par un perceptron
Expliquer à l’aide d’un graphique ce que réalise le réseau de neurones suivant :
Comptage de paramètres d'un MLP
On considère un réseau de neurones entièrement connecté avec une entrée de dimension \(3\), une couche cachée de ...
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1001
Soit \(n \in { \Nn}\) et \(E={ \Rr}_{n}[X]\), l’espace vectoriel des polynômes à ...
exo7 1002
Soient ...
exo7 1003
Soient le triplet \({\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)\) et le triplet ...
exo7 1004
Soit ...
exo7 1005
Soit \(E =\R^3\). On définit le système ...
exo7 1006
Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...
exo7 1007
Montrer que les systèmes \({\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)\) et ...
exo7 1008
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les polynômes ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1010
Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1014
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...
exo7 1015
Soit \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 1016
Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
exo7 1017
Soient \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et ...
exo7 1018
Donner la dimension du sous-espace \(F\) de \({\mathcal F}(\R,\R)\) engendré par ...
exo7 1019
On considère, dans \({\Rr}^4\), les vecteurs : ...
exo7 1020
Soient \(E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}\) et ...
exo7 1021
Montrer que \({f} : {\Rr^3} \to {\Rr^3}\), ...
exo7 1022
Soit \(E\) un \(\Qq\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1023
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire \(f\) sur \(\Rr^2\) telle que ...
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1026
Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer l’équivalence ...
exo7 1027
Soit \(E\) et \(F\) de dimensions finies et ...
exo7 1028
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1029
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1030
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 1031
Soient \(E_{0},E_{1},...,E_{n}\) \(n+1\) espaces vectoriels sur un même corps com ...
exo7 1032
Soient \(H_{1}\) et \(H_{2}\) deux hyperplans de ...
exo7 1033
Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d’un endomorphisme surjectif et non injectif.
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1035
Soit \((f,g)\in L(E,F)^{2}\) avec \(E,F\) de dimension finie. On suppose ...
exo7 1036
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f,g)\in L(E)^{2}\) avec ...
exo7 1037
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, et \((f_{1},...,f_{k})\) des p ...
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1039
Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1056
Soit \(F\) et \(G\) les sous-ensembles de ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1065
Discuter suivant les valeurs de \(\lambda \in \Rr\) le rang de la matrice ...