Texte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- étudier la convergence d’une série entière et mettre en évidence la notion de rayon de convergence ;
- étudier les propriétés de sa somme en se limitant à la continuité dans le cas d’une variable complexe ;
- établir les développements en série entière des fonctions usuelles.
Les séries entières trouveront un cadre d’application dans la notion de fonction génératrice en probabilités et au détour d’exemples de résolution d’équations différentielles linéaires.
- a) Rayon de convergence 100
- b) Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle 17
- c) Développement en série entière au voisinage de 0 d’une fonction d’une variable réelle 90
- d) Séries géométrique et exponentielle d’une variable complexe 36
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5442
Développement limité à l’ordre \(n\) en \(0\) de ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5695
Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5740
Montrer que ...
exo7 5741
Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5747
Développer en série entière les fonctions suivantes :
| ... |
exo7 5748
Pour \(x\) réel, on pose ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5750
Soit \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R > 0\) et te ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5753
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5757
On pose \(a_0 = 1\) et \(b_0 = 0\) puis pour tout entier naturel ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5762
Développer en série entière \(F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt\) et en déduire que pour tout réel ...
exo7 5763
Soit \(I_n\) le nombre d’involutions de ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 7543
Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...
exo7 7544
Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).
exo7 7545
Soit \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_nz^n\) deux séries entières de rayon de converg ...
exo7 7546
Montrer que pour tout \(N\in\Nn\), et tout \(z\in\Delta\), ...
exo7 7547
Montrer que pour tout entier naturel \(k\) et tout \(z\in\Delta\), ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 7567
Soit \(c\) un point de \(\Cc^-\).
exo7 7568
On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes \(B_n\) tels que sur le domaine de convergence ...
exo7 7584
Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).
exo7 7588
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
exo7 7616
Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).
exo7 7619
Soit \(\sum_{n\geq 1}a_nz^n\) une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Dé ...
Identification des coefficients d'une série entière
On rappelle que, pour tout réel \(x\) tel que \(|x|<1\), ...
Rayon de convergence de séries sentières
- \question{ ...
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]
Rayon de convergence et calcul de somme
On considère la série entière à variable réelle \[S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+2}{n!}\,x^n.\] ...
Rayon et domaine de convergence d'une série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...