Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Calcul des dérivées partielles d’une fonction de deux variables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles d’une fonction de deux variables. | On introduit les notations $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$. ⇌ Le calcul des dérivées partielles est présenté en lien avec l’usage qui en est fait en physique. |
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1801
Soit \(f : \R \rightarrow \R\) dérivable. Calculer les dérivées partielles de : ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1816
Calculer les dérivées partielles (d’ordre un) des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition.
exo7 1817
Calculer les dérivées partielles (d’ordre un) de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{xy+\frac{x}{y}}\) en ...
exo7 1821
Calculer \(df\, (1,1)\), si \(f(x,y)=\frac{x}{y^2}\).
exo7 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
exo7 1826
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
exo7 1836
Si \(f\) est concave sur un ouvert convexe \(U\subset {\Rr}^{2}\) et si : ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 1845
Résoudre à l’aide des coordonnées polaires l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 1850
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr\) dérivable. On pose ...
exo7 1851
Soit \(f : \Rr^{2} \rightarrow \Rr\) une fonction \(C^{2}\). On pose ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 2623
Soit \(f\) la fonction sur \(\R^2\) définie par ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2627
On considère les fonctions \(f\colon \R^2\longrightarrow \R^3\) et ...
exo7 2637
Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) ...
exo7 2642
Trouver les points critiques de la fonction \(f\) suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima ...
exo7 2643
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans ...
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2654
On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...
exo7 3827
Calculer le minimum sur \(\R^2\) de ...
exo7 4136
Calculer les dérivées partielles des fonctions :
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4142
Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4146
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4170
On considère la fonction de \(\R^2\) sur lui-même définie par \(f(x,y)=(u,v)\), o ...
exo7 4193
Soit \(ABC\) un triangle de cotés \(a,b,c\).
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4203
Résoudre sur \((\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4207
Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante : ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5561
Trouver toutes les applications \(\varphi\) de \(\Rr\) dans ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...