Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Limites
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite d’une fonction en un point. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, \alpha)$ est présentée, mais les détails techniques ne sont pas un attendu du programme. |
Limite à droite, limite à gauche. Limite en $+\infty$ ou $-\infty$. Si $(u_n)$ tend vers $a$ et si la limite de $f$ en $a$ est $b$, alors la suite $(f(u_n))$ tend vers $b$. Opérations sur les limites. Limite de fonctions composées. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une fonction de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème dit « des gendarmes » et extension aux limites infinies. Théorème de la limite monotone. | Une fonction monotone sur un intervalle ouvert admet une limite finie ou infinie aux bornes de l’intervalle. |
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5397
Soit \(f\) continue sur \(\Rr^+\) telle que, pour tout réel positif ...
exo7 540
Soit \(a\in \mathbb{R}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 5422
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr_+^*\) tel ...
exo7 5424
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5425
Etudier la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :
...
exo7 5426
Etudier l’existence et la valeur éventuelle des limites suivantes
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 543
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= e^{-u_n}\) et \(u_0=0\).
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 549
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)\).
exo7 551
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ; on définit une suite ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 606
Écrire les définitions des limites suivantes : \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=l\), ...
exo7 6067
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 607
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant ...
exo7 609
Démontrer que \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{ x}=1}\).
exo7 610
Soit \(f\) une fonction de variable réelle telle que ...
exo7 611
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 613
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 616
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 618
Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*},\) et pour tout couple de nombres réels ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 620
Rappeler que pour tout nombre réels \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(n\) ...
exo7 621
Déterminer les limites suivantes: ...
exo7 622
On rappelle les limites : ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 624
Soient \(a,b\) des réels positifs. \(E(x)\) désigne la partie entière de ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 626
En utilisant la définition d’une limite, montrer que : ...
exo7 627
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 628
Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes : ...
exo7 629
Déterminer les limites suivantes : \[\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0\]
...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 634
Calculer : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).\]
exo7 635
Calculer : ...