Programme de mathématiques MP, MPI
a) Compléments sur les groupes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intersection de sous-groupes. Sous-groupe engendré par une partie. Partie génératrice d’un groupe. Sous-groupes du groupe $(\mathbb{Z},+)$. Groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$. Générateurs de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. | |
Groupe monogène, groupe cyclique. | Groupe des racines $n$-ièmes de l’unité. |
Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$. Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$. | |
Ordre d’un élément d’un groupe. Si $x$ est d’ordre fini $d$ et si $e$ désigne le neutre de $G$, alors, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $x^n=e\iff d\mid n$. | L’ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par $x$. |
L’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe. | La démonstration n’est exigible que pour $G$ commutatif. |
exo7 2003
Soit \(X = \left\{ A, B, C, D\right\}\) les sommets d’un carré du plan et ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2115
Soit \(G\) un groupe d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément \(x\in G\), ...
exo7 2117
Soient \(G\) un groupe fini et \(m\) un entier premier à l’ordre de ...
exo7 2120
Soit \(G\) un groupe et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2122
(a) Montrer que les seuls sous-groupes de \(\Z\) sont de la forme \(n\Z\) où ...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2124
Soit \(G\) un groupe abélien et \(a\) et ...
exo7 2125
Soit \(G\) un groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de ...
exo7 2126
Déterminer tous les sous-groupes de \(\mu_2 \times \mu_2\).
exo7 2127
Soient \(G\) un groupe fini et commutatif et \(\{ G_i\} _{i\in I }\) la famille d ...
exo7 2128
Déterminer tous les groupes d’ordre \(\leq 5\). En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins 6 éléments ...
exo7 2129
Le centre d’un groupe \(G\) est l’ensemble \(Z(G)\) des éléments de ...
exo7 2130
Soient \(G\) un groupe et \(H\) et \(K\) deux so ...
exo7 2131
Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique \(S_3\).
exo7 2132
Montrer que dans un groupe d’ordre \(35\), il existe un élément d’ordre ...
exo7 2133
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2p\) avec \(p\) u ...
exo7 2134
Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...
exo7 2135
Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2659
Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.
exo7 2660
Montrer qu’un groupe \(G\) dont les seuls sous-groupes sont \(G\) et ...
exo7 2661
Soit \(G\) un groupe multiplicatif (c’est-à-dire dont la loi est notée multiplicativemen ...
exo7 2662
Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif \(G\) forment un sous-group ...
exo7 2663
Soit \(G\) un groupe commutatif multiplicatif, \(a\) et ...
exo7 2664
Montrer qu’un groupe fini dont l’ordre est un nombre premier est cyclique.
exo7 2665
Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux transpositions de ...
exo7 287
Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de ...
exo7 289
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) ; montrer que la famille des sou ...
exo7 2975
Soit \(G\) un groupe additif, et \(H,K,L\) trois sous-groupes de ...
exo7 2976
Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2978
Soit \(n \in \N^*\) et \(G = \Z/n\Z\). Soit ...
exo7 2980
Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...
exo7 2982
Déterminer tous les sous-groupes finis de \((\C^*,\times)\).
exo7 2983
Soient \(G\) et \(G'\) deux groupes et \(f\) ...
exo7 2985
Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(a \in G\) d’ordre ...
exo7 2986
Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...
exo7 2987
Soit \(n \in \N\), \(n \ge 3\). On note ...
exo7 2988
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu’il existe un élément d’ordre 2. ...
exo7 2989
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal impair. Montrer que : ...
exo7 2990
Soit \(G\) un groupe fini tel que : \(\forall\ x \in G,\ x^2 = e\).
exo7 2991
Déterminer tous les groupes finis de cardinal 6 (on admettra que dans un tel groupe, il existe un élément ...
exo7 2992
Soit \(E = \R \setminus \{0,1\}\), et \(f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}\), ...
exo7 2994
Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de ...
exo7 2995
Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour ...
exo7 2996
Soit \(G\) un groupe commutatif fini d’ordre \(n = ab\) avec ...
exo7 2997
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\Q\) engendré par un nombre f ...
exo7 2999
Soit \(p\) un entier naturel premier. On appelle \(G\) l’ensemble des ...
exo7 3001
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^k\) où ...
exo7 3002
On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...