Programme de mathématiques MP, MPI
a) Normes et espaces vectoriels normés
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Structure d’espace vectoriel normé. | Vecteurs unitaires. |
Distance associée à une norme. | Inégalité triangulaire. |
Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules. | On introduit à cette occasion la notion de partie convexe d’un espace vectoriel réel. |
Parties, suites, fonctions bornées. Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien réel. Normes $\lVert\ \rVert_1$, $\lVert\ \rVert_2$, $\lVert\ \rVert_\infty$ sur $\mathbb{K}^n$. | |
Norme de la convergence uniforme sur l’espace des fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Notation $\lVert\ \rVert_\infty$. Pour les applications pratiques, on peut utiliser sans justification l’égalité $\sup(kA)=k\sup(A)$ pour $A$ partie non vide de $\mathbb{R}$ et $k\in\mathbb{R}^+$. |
Normes de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l’espace des fonctions continues sur un segment à valeurs réelles ou complexes. | Notations $\lVert\ \rVert_1$ et $\lVert\ \rVert_2$. |
Produit fini d’espaces vectoriels normés. |
exo7 1488
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(F\) et ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1871
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1872
Lorsqu’un espace vectoriel \(E\) est en outre muni d’une multiplication, l’application ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1877
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1880
\(N:(x,y)\longmapsto |5x+3y|\) est-elle une norme de \(\R^2\) ?
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1882
Soit ...
exo7 1883
\(A\) est dit convexe s’il contient tout segment reliant deux quelconques de ses points : ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1885
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...
exo7 1886
Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : ...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 1888
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1889
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1891
Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que ...
exo7 1892
Soit \((E,\Vert \quad \Vert )\) un espace vectoriel normé sur \(\Rr\). On pose ...
exo7 1893
Soit \(\Vert \quad \Vert\) une norme sur \(\Rr ^n\) et ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2354
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2495
Décrire la boule de centre l’origine et de rayon \(1\) dans les espaces suivants:
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2671
Sur l’espace \(\R^n\), définir une distance \(d\), telle que ...
exo7 3663
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien. On pose pour \(\vec x \ne \vec 0\) : ...
exo7 3664
Soit \(E\) un espace euclidien.
exo7 3668
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p \in \mathcal{L}(E)\) une projecti ...
exo7 3675
Soient \(E\) espace vectoriel euclidien, \(\vec a \in E\) et ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3760
\({\cal O}_n(\Q)\) est-il dense dans \({\cal O}_n(\R)\) ?
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3834
Montrer que les applications : ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 3842
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...
exo7 4734
Soit \(A\) une partie non vide et bornée d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4737
Soit \(E\) un evn non nul et \(\vec a,\vec a' \in E\), ...
exo7 4738
Soient \(\vec x,\vec y,\vec z\) trois vecteurs d’un evn \(E\) tels que ...