Programme de mathématiques MP, MPI
g) Parties compactes d’un espace normé
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition d’une partie compacte par la propriété de Bolzano-Weierstrass. | La propriété de Borel-Lebesgue est hors programme. |
Une partie compacte est fermée et bornée. Un fermé relatif d’une partie compacte est compact. Une suite d’éléments d’une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence. Produit d’une famille finie de compacts. |
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
exo7 1744
Soit \(f:\R^n\rightarrow \R\) une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalent ...
exo7 1754
Les sous-ensembles de \(\R^2\) suivants sont-ils ouverts ? Fermés ? Compacts ? ...
exo7 1763
Dans \(\R^2\) euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
exo7 1764
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1766
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Pour toutes parties \(A\) et ...
exo7 1767
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Soit \((x_n)\) une suite conver ...
exo7 1783
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 2371
Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact.
exo7 2376
Soit \(E\) un espace normé. Si \(A\) et \(B\) so ...
exo7 2378
Soit \(E =\{ f:[0,1] \rightarrow \Rr \;\; \text{continue} \}\). On munit \(E\) de ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4827
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to {F.}\) ...
exo7 4828
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4829
Soit \(C\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 4830
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4831
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4832
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\). Montrer qu’il existe une suite ...
exo7 4833
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \((K_n)\) une suite dé ...
exo7 4834
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to F\) con ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4836
Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...
exo7 4837
Soit \(E = {\cal C}([0,2\pi])\) muni de la norme \(\|.\|_2\). Pour ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 4839
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de ...
exo7 4840
Soit \(E\) un evn de dimension infinie.
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 6179
On rappelle la construction de l’ensemble triadique de Cantor : on part du segment \([0,1]\) dont on supprime l’in ...
exo7 6181
Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte.
exo7 6182
Soit \(A\) une partie d’un espace normé \(E\). On note co ...
exo7 6187
Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.
exo7 6188
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\) de boule unité fermée ...
exo7 6194
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6196
Soit \(K\) un convexe compact symétrique de \(\Rr^n\) contenant ...
exo7 6199
Soit \(A\) une partie d’un espace normé \(E\). On note co ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...