Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Signature d’une permutation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Décomposition d’une permutation en produit de transpositions. | |
Signature : il existe un unique morphisme de groupes de $S_n$ dans $\{-1, 1\}$ envoyant toute transposition sur $-1$. | La démonstration n’est pas exigible. |
exo7 1403
On considère le groupe symétrique \(S_n\).
exo7 1404
Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d’y parvenir ? Même question pour 12 ...
exo7 1405
Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions. ...
exo7 1407
Décrire tous les morphismes de groupe de \((\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)\), c’est les appli ...
exo7 1408
Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une pe ...
exo7 1409
On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) élément ...
exo7 1410
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...
exo7 1414
I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre
\(\mathcal{Z}(G)\) de ...
exo7 1418
Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signature, l’ordre et une décomposition en produit de transpositions des per ...
exo7 1422
Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathcal{S}_n.\)
exo7 1426
Montrer que \(\mathcal{S}_n\) est isomorphe à un sous-groupe de ...
exo7 2666
Pour tout \(n\in\N^*\), calculer la signature de la permutation ...
exo7 2670
Expliciter les 24 rotations de l’espace laissant un cube de sommets \(A_1, A_2, \dots, A_8\) invariant.
D ...
exo7 2728
On définit une permutation \(\sigma\) de l’ensemble \(\{1, 2, \dots, 15\}\) par l ...
exo7 2776
On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) ...
exo7 3076
Calculer \((a\,b\,c) \circ (b\,c\,d)\).
exo7 3077
Soit \(n \in \N,n \ge 4\).
exo7 3078
Soit \(\sigma \in {\cal S}_n\). On note \(c\) le nombre de cycles à ...
exo7 3079
Soit \(\sigma \in S_n\). On appelle orbite de \(\sigma\) to ...
exo7 3081
Soit \(E\) un ensemble fini et \(f : {{\cal S}_E} \to {\C^*}\) un morphisme de gr ...
exo7 3082
Soit ...
exo7 3088
Soit \(H\) un sous-groupe de \({\cal S}_n\) d’ordre ...
exo7 5353
Soit \(\sigma\) l’élément de \(S_{12}\) : ...
exo7 5355
Démontrer que \(A_n\) est engendré par les cycles de longueur \(3\) (pour ...
exo7 5358
Soit \(\sigma\) une permutation de \(\{1,...,n\}\) et ...
exo7 5669
Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice ...
exo7 6450
Trouver une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes :
exo7 6451
Déterminer la signature des permutations :
exo7 6452
Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations suivantes ...
exo7 6453
Ecriver les produits suivants comme produits de cycles disjoints. ...
exo7 6455
Dans le groupe symétrique \(S_4\) trouver les sous-groupes suivants
exo7 6456
Trouver l’ordre des permutations suivantes \[(abcdef)(ghij)(klm)\; ;\; \; \; \; (123456)(1234)(123)\, .\]
exo7 7356
Donner la liste des permutations du groupe symétrique \(\mathcal{S}_4\).
exo7 7366
Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...
exo7 7408
Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...
exo7 7765
On considère l’élément de \(\mathcal{S}_8\) : ...
exo7 7842
Combien le groupe \(\mathcal{A}_5\) a-t-il d’éléments d’ordre \(3\) ?
exo7 7872
Soit \(n\) un entier naturel supérieur à \(3\), ...
exo7 7873
Soint \(n\) un entier naturel supérieur à \(3\).