Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 1359
Soit \((G, + )\) un groupe commutatif. On note \(\text{End} (G)\) l’ensemble des ...
exo7 1384
Un automorphisme d’un corps \(\mathbb{K}\) est une application bijective ...
exo7 1385
On suppose que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G,\ast)\) sur ...
exo7 1386
Soient \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre ...
exo7 1387
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pn\) avec \(p\) p ...
exo7 1388
Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre \(4 .\)
exo7 1389
Soit \(G\) un groupe dans lequel tout élément (distinct de l’élément neutre) est d’ordre ...
exo7 1390
Montrer que tout morphisme de groupes de \(\Q\) dans un groupe fini \(G\) est tri ...
exo7 1391
Soit \(G\) un groupe et \(H\) une partie finie non vide de ...
exo7 1392
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) ( ...
exo7 1394
Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)
exo7 1395
Montrer qu’il n’existe aucun élément d’ordre 3 dans le groupe \(\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.\)
exo7 1396
Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...
exo7 1397
Soit \(G\) le groupe-produit ...
exo7 1398
Soit \(f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz\) définie par ...
exo7 1399
Les groupes \(\Zz/8\Zz,\) \(\left(\Zz/2\Zz\right)\times \left(\Zz/4\Zz\right)\) e ...
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 1402
Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...
exo7 1407
Décrire tous les morphismes de groupe de \((\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)\), c’est les appli ...
exo7 1409
On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) élément ...
exo7 1410
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...
exo7 1412
Rappeler \(\vert S_3\vert .\) Montrer que \(S_3\) ne contient pas d’élément d’o ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...
exo7 1414
I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre
\(\mathcal{Z}(G)\) de ...
exo7 1415
Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...
exo7 1417
Calculer \(Z(S_n)\) suivant les valeurs de \(n\in \N .\)
exo7 1420
Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...
exo7 1422
Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathcal{S}_n.\)
exo7 1425
Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...
exo7 1426
Montrer que \(\mathcal{S}_n\) est isomorphe à un sous-groupe de ...
exo7 1427
Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe de \(S_{n}\) (groupe symétrique) ...
exo7 1435
Déterminer tous les sous-groupes de \(\Zz/8\Zz.\)
exo7 1438
Décrire le groupe-quotient \(\Rr^{*}/\Rr_{+}^{*}\) et montrer qu’il est isomorphe à ...
exo7 1446
Soit \(G\) le sous-groupe de \(Gl(2, \R )\) engendré par les matrices ...
exo7 1447
Les questions sont indépendantes.
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1996
Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...
exo7 2003
Soit \(X = \left\{ A, B, C, D\right\}\) les sommets d’un carré du plan et ...
exo7 2109
Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi \(\star\) associative
(i) admettant ...
exo7 2110
Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif de \(\R^{\times}\)?
exo7 2111
Montrer que l’ensemble \(\{2^n \hskip 2pt | \hskip 2pt n\in \Z \}\) est un sous-groupe multiplicatif de ...
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2118
Soit \(G\) un groupe et \(H<G\), \(K<G\) d ...
exo7 2119
Soit \(H\) une partie non vide d’un groupe \(G\). On pose ...
exo7 2120
Soit \(G\) un groupe et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2121
Montrer que dans un groupe \(G\), toute partie non vide finie stable par la loi de composition est un sous-groupe. ...
exo7 2122
(a) Montrer que les seuls sous-groupes de \(\Z\) sont de la forme \(n\Z\) où ...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2125
Soit \(G\) un groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de ...