Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 5625
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de format ...
exo7 5626
Soient ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5628
Pour \(A\) matrice nilpotente donnée, on pose ...
exo7 5634
Rang du système de formes linéaires sur \(\Rr^4\)
...
exo7 5635
Soient \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) une matrice carrée et ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5637
Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...
exo7 5638
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5639
Résoudre le système \(MX = U\) où ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5642
Calculer \(\text{det}((a+i+j)^2)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a\) est un co ...
exo7 5643
Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...
exo7 5644
Soient \(a_0\),...,\(a_{n-1}\) \(n\) nombres com ...
exo7 5645
Soient \(a_{i,j}\), \(1\leqslant i,j\leqslant n\), ...
exo7 5646
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles de format ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5648
Soit \(A\) une matrice carrée complexe de format \(n\) ( ...
exo7 5649
Soient \(a_0\), ... , \(a_{n-1}\) ...
exo7 5650
Calculer les déterminants suivants :
exo7 5651
Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)\). Pour ...
exo7 5652
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) l’équation \(X^2 = A\) où ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5656
Soit \(A\) une matrice rectangulaire de format \((p,q)\) et ...
exo7 5657
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes d’un espa ...
exo7 5661
Soit ...
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 5664
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5665
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) telle que ...
exo7 5666
Soit \(A\) une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme car ...
exo7 5667
Soit ...
exo7 5671
Trouver une matrice carrée \(A\) vérifiant \(A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0\).
exo7 5672
Calculer ...
exo7 5673
Soit \(A\) une matrice carrée de format \(2\) telle que ...
exo7 5684
Résoudre dans \(\mathcal{M}_3(\Cc)\) l’équation ...
exo7 5685
Commutant de \(\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\).
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5794
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique positive de format \(n\). Montrer ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5798
Soit \(A\) une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices \({^t}AA\) et ...
exo7 5799
Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives.
exo7 5800
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montre ...
exo7 5804
La matrice ...