Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique de l’ensemble $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 58
Déterminer les racines quatrièmes de \(-7-24i\).
exo7 5853
Soit \(z\) un nombre complexe. Déterminer ...
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...
exo7 6
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : ...
exo7 60
Déterminer l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que :
exo7 6003
Dans l’ancienne formule du Loto il fallait choisir 6 numéros parmi 49.
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 62
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensemble ...
exo7 63
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et on identifie \(P\) à l’ensem ...
exo7 64
Soit \(C\) la courbe d’équation \(x^2-xy+y^2 = 0\) dans le plan ...
exo7 6444
Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6661
Soit \(w\) dans \(\C\). Déterminer les nombres complexes ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 6663
Montrer que la fonction \(f(z)=\tan z\) définie par ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 67
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan co ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 69
Montrer que pour \(u,v \in \Cc\), on a \(|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).\) Donner ...
exo7 6959
Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...
exo7 6960
Trouver tous les polynômes \(P\) qui vérifient la relation \[P(X^2)=P(X)P(X+1)\] ...
exo7 6961
Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...
exo7 6974
Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...
exo7 6977
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7
Effectuer les calculs suivants :
exo7 70
Soient \(z,z' \in \Cc\) tels que ...
exo7 7004
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s’appuient extérieurement sur les côt ...
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7006
Soit \(ABC\) un triangle direct. Soient \(P, Q, R\) tels que ...
exo7 7008
On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou align ...
exo7 7009
Déterminer une équation complexe de la droite
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 7106
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\), et ...
exo7 7107
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\), et \(M\) ...
exo7 7112
Soit \(ABCD\) et \(A'B'C'D'\) deux carrés du plan inclus l’un dan ...
exo7 7146
Écrire en coordonnée complexe :
exo7 7148
Soit \(a\in \C^*\), et soit \(f\) la similitude directe du plan représentée par ...
exo7 7149
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(C\) soit l’image de ...