Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Fonctions polynomiales et racines
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité. | Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ». Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale. |
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Multiplicité d’une racine. Polynôme scindé. | Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée. |
Expressions de la somme et du produit des racines d’un polynôme scindé en fonction de ses coefficients. | Les fonctions symétriques élémentaires sont hors programme. |
exo7 362
Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré 7 tel que \((X-1)^4\) divise ...
exo7 3652
Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...
exo7 367
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes distincts, ...
exo7 369
Pour \(n\in \mathbb{N}\), montrer que le polynôme \((X-1)^{n+2}+X^{2n+1}\) est di ...
exo7 372
Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...
exo7 373
Déterminer le reste de la division euclidienne de \((\sin a X + \cos a)^n\) par ...
exo7 374
Soit \(P\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par \(X-1\) est ...
exo7 377
Soient \(P,Q\in K[X]\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 378
Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 386
Trouver tous les polynômes \(U\) et \(V\) de ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 3929
Pour \(n \in \N\), on pose \(f_n(x) = \cos(n\arccos x )\) et ...
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 397
Soit \(P(X)= a_nX^n+\cdots + a_0\) un polynôme à coefficients entiers premiers entre eux (c’est à dire tels que le ...
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 402
Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 406
Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 408
Soit \(a\in\mathbb{C}\), \(P \in \mathbb{C}[X]\) et ...
exo7 409
Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...
exo7 410
Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...
exo7 414
Soit \(P\) le polynôme \(X^4+2X^2+1\). Déterminer les multiplicités des racines ...
exo7 4142
Soient \(P \in \C[X]\) et \(f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}\) Montr ...
exo7 415
Soit le polynôme \(P=X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1\).
exo7 416
Soit \(E\) le polynôme du troisième degré : \(aX^3+bX^2+cX+d\) avec ...
exo7 417
Soient \(x_1, x_2, x_3\) les racines de \(X^3-2X^2 + X + 3\). Calculer ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 418
Soit \(n \in \Nn\) fixé. Montrer qu’il y a un nombre fini de polynômes unitaires de degré ...
exo7 420
Résoudre les équations :
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 422
Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).
exo7 424
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) il existe un polynôme \(P_n\) et ...
exo7 426
Trouver un polynôme \(P\) de degré \(\leq2\) tel que ...
exo7 427
Trouver le polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(3\) tel que : ...
exo7 431
Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)
exo7 432
Soit \((P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2}\) tels que ...
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 438
Soit \(P\in {\Rr}[X]\) un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que ...
exo7 440
Soient \(m,n\in [1,+\infty[\), \(d=\mathrm{pgcd} (m,n)\) et ...
exo7 442
Soit \(P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]\). Déterminer toutes les racines complexes de ...
exo7 4522
Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...
exo7 457
Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...
exo7 4615
Soit \(P\in\C[X]\) ayant pour racines \(z_1,\dots,z_k\) de multiplicités ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 490
Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...