Programme de mathématiques PSI
b) Matrices par blocs et sous-espaces stables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices définies par blocs, opérations par blocs de tailles compatibles (combinaison linéaire, produit, transposition). Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs. | |
Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, endomorphisme induit. Si $u$ et $v$ commutent alors le noyau de $u$ est stable par $v$. | Traduction matricielle de la stabilité d’un sous-espace vectoriel par un endomorphisme et interprétation en termes d’endomorphismes d’une matrice triangulaire ou diagonale par blocs. |
exo7 1038
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \({K}\)-espac ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1909
Déterminer le centre de gravité du culbuto (homogène), i.e. le cône ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3564
Soient \(A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)\) telles que \(AC = CB\) et ...
exo7 3575
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) finie, ...
exo7 3599
Soit \(A \in GL_n(\C)\) et ...
exo7 3600
Soit \(M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)\) diagonalisable avec ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3757
Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si ...
exo7 3817
Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l’un des coefficients diagonaux ...
exo7 5273
Calculs par blocs.
exo7 5364
Calculer :
exo7 5368
Soit \((A,B)\in(M_n(\Rr))^2\) et ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5622
Soient \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\) et \(B\) l’élément de ...
exo7 5623
Soit \(H\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) tel que ...
exo7 5636
On définit par blocs une matrice \(A\) par ...
exo7 5647
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 5653
Soit \(A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)\).
exo7 5662
Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
exo7 5663
Soient \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\Cc\)) et ...
exo7 7809
On considère la forme symplectique sur \(\Rr^{2n}\) donnée par ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...