Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dans $\mathbb{R}^p$ muni de sa structure euclidienne canonique, gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Le gradient est défini par la relation $\mathrm{d}f(a) \cdot h = \langle \nabla f(a), h\rangle$ pour $h \in \mathbb{R}^p$. |
Coordonnées du gradient. | Notation $\nabla f(a)$. |
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4172
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que ...
exo7 4177
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f : E \to E\) de classe ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5895
Soit ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 5905
Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en to ...
exo7 5907
Soit \(\omega=x^2dx+y^2dy\). Calculer l’intégrale de \(\omega\) le long de tout c ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6261
Soient \(E,F\) des espaces normés, \(\Omega\) un ouvert de ...
exo7 6289
Soit \(f:\Rr^n\to\Rr^n\) de classe \(C^2\) telle que, pour tout ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6298
Dans \(\Rr^n\), on pose ...
exo7 6299
\(\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle\).
exo7 6305
Soit \(f(x,y)\) une fonction de classe \(C^2\) au voisinage du cercle ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6330
Soit \(f:\Rr^2\to R\), de classe \(C^2\), et ...
exo7 6362
Soit \(f\) une application de classe \(C^1\) d’un ouvert ...
exo7 6660
Montrer que ...
exo7 6779
Soit \(\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3\) la carte de la sphère \(S^2\) donné ...
exo7 6794
Soit \(f:\Rr^4 \to \Rr^2\) défini par ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6837
Soit \(f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr\) la fonction ...
exo7 6840
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (x^2y,xy^2)\).
exo7 6846
Soit \(U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}\) et soit \(Y:U \to \Rr^2\) le champ ...
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6880
On donne le champ vectoriel \[\vec{V}(x,y,z)=(y^2\cos x, 2y\sin x+e^{2z},2y e^{2z}).\]
exo7 7664
La restriction à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2-6x=-5\) de la fonction ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...