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Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \(\alpha > 0\). On pose ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...

Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...

On considère la fonction \(f\) : ...

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...

Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).

On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...

Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...

Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...

Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...

Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...