Programme de mathématiques PT
c) Isométries vectorielles en dimension 2
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Orientation d’un plan euclidien de dimension 2. Base directe, base indirecte. Description des matrices de $\mathscr{O}_2(\mathbb{R})$, de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. | |
Rotation vectorielle d’un plan euclidien orienté. | On introduit à cette occasion, sans soulever de difficulté, la notion de mesure d’un angle orienté de vecteurs. |
Classification des isométries vectorielles d’un plan euclidien. |
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 3815
Peut-on définir sur \(\R^2\) une structure euclidienne telle que l’endomorphisme ...
exo7 4951
Soit \({\cal C} = {\cal C}(O,r)\) un cercle du plan et \(f\) une application affi ...
exo7 4954
Trois figures \(F_1,F_2,F_3\) se déduisent l’une de l’autre par rotations. Montrer qu’il existe une figure ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6389
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine et \(\tau_l\) la réflexion par rappo ...
exo7 6390
Notons \(R(a,\alpha)\) la rotation d’angle ...
exo7 6391
Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).
exo7 6394
Etudier la composée de deux rotations, puis la composée de deux réflexions glissées et finalement la composée d’une rotation et d’une réflexion gli ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7105
Sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) d’un carré direct ...
exo7 7108
Soit \(BOA\) un triangle indirect quelconque, \(OAC\) et ...
exo7 7109
Soit \(BOA\) un triangle indirect isocèle en \(O\), ...
exo7 7111
On considère trois droites parallèles \(D_1\), \(D_2\) et ...
exo7 7115
Soit \(ABC\) un triangle direct non isocèle rectangle. Soient \(ARB\), ...
exo7 7116
Soit un quadrilatère convexe \(ABCD\). Les points \(E\), ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7153
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et non isocèle. La médiatrice de ...
exo7 7155
Soit \(ABC\) un triangle direct non rectangle isocèle, et soit \(P\) (resp. ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7167
Soient \(AOB\) et \(COD\) deux triangles directs, isocèles rectangles en ...
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7273
Soit \(d\) une droite d’un plan euclidien orienté \(E\) de vecteur directeur ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7461
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7473
Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l’espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
exo7 7478
Dans un plan affine euclidien orienté on considère deux points distincts \(O\) et ...
exo7 7481
Construire un triangle équilatéral \(ABC\) connaissant \(A\) et sachant que ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7497
On reprend les notations de l’exercice précédent. Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7503
On considère dans le plan euclidien orienté un point \(A\) et la rotation \(r\) d ...
exo7 7504
Dans le plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), on considère ...
exo7 7506
On identifie le plan affine \(\R^2\) muni du produit scalaire standard à l’espace vectoriel ...
exo7 7507
Démontrer que si \(A, B, C\) sont trois points distincts d’un plan affine euclidien ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7513
Soit \(P\) un plan euclidien orienté.