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Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...

Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...

Soit \(f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k\).

Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...

Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t\).

On considère la fonction \(f\) : ...

Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).

Nature de la série de terme général

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}\) où ...

Nature de la série de terme général

1) (***) \(\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)\) ...

Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme ...

Soit \(\sigma\) une injection de \(\Nn^*\) dans lui-même. Montrer que la série de ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux ...

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\).

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...

Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général ...

On sait que \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2\).

A partir de la série précédente, on cons ...

Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).

Convergence et somme éventuelle de la série de terme général

Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...

Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...

Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de

Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).

Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...

Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...

(Hors programme) Convergence et calcul de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx\).

Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...

Calculer \(\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx\) en écrivant cette intégrale comme somme d’une série.

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...

Pour \(n\) entier naturel, on pose ...

Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...

Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Déterminer le rayon de convergence de la série \(\sum 2^{2n}z^{2n}\).

Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).

Calculer : ...

Calculer : ...

On considère la série entière à variable réelle \[T(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n+1}}{n+1}\,x^{n+1}.\]