Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice, rang d’une matrice
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire canoniquement associée à une matrice. | On identifie ici $\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ et $\mathbb{K}^n$. |
Noyau, image et rang d’une matrice. | Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau. |
Une matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul, ou si et seulement si ses colonnes engendrent l’espace $\mathbb{K}^n$ ou si et seulement si son rang est $n$. Toute matrice carrée inversible à gauche ou à droite est inversible. | Retour sur la condition d’inversibilité d’une matrice triangulaire. Lien entre les diverses notions de rang. |
Les opérations élémentaires sur les colonnes (resp. lignes) conservent l’image (resp. le noyau). Les opérations élémentaires conservent le rang. | Application : calcul du rang. |
Invariance du rang par transposition. | Ce résultat est admis. |
exo7 1070
Montrer que si \((A,B)\in M_{n}({\Rr})\) et \(AB=A+B\) alors ...
exo7 1098
Soit \(M_{\alpha , \beta }\) la matrice : ...
exo7 1101
Soit ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1188
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(A\) la ma ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1482
Dans \(\R ^3\) muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le ...
exo7 1484
Quelle est la transformation de \(\Rr^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1597
Soit \(m \in \R\) et \(A_m\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...
exo7 2570
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). On suppose que ...
exo7 2744
Soit la matrice ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 2746
Soit la matrice ...
exo7 2770
Pour chaque couple de matrices \((A_i, b_i)\), \(1\leq i\leq 5\), ci-dessous
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 3361
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Q)\). Comparer les énoncés :
1: ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3380
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique.
exo7 3393
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...