Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
d) Dérivation
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivée formelle d’un polynôme. | Pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$, lien avec la dérivée de la fonction polynomiale associée. |
Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison linéaire, produit. Formule de Leibniz. Formule de Taylor polynomiale. Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs. |
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 1271
Soit \(P\in {\Rr}_{n}[X]\) tel que \(P\geq 0\). On pose ...
exo7 1357
Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...
exo7 1368
\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...
exo7 1453
Sur \(\R_{3}[X]\) on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. ...
exo7 1520
On considère l’application \(u\) suivante : ...
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 2307
Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :
exo7 2308
Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 2506
Soit \(E^n\) l’espace des polynômes de degré \(\leq n\). Etudier la différentiabi ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2695
Soit \(\cal P\) la parabole d’équation \(y^2=2px, p>0\).
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3175
Soit \(P \in {\Z[X]},\ n \in \Z\), et \(p = P(n)\). Montrer que ...
exo7 3180
Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...
exo7 3181
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...
exo7 3182
Démontrer qu’il existe \(P,Q \in K_{n-1}[X]\) uniques tels que ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3184
Soit \(P \in {\R[X]}\) tel que : \(\forall\ x \in \R\), on a ...
exo7 3206
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
exo7 3223
Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...
exo7 3224
Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...
exo7 3229
Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.
exo7 3230
Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3240
Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).
Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3243
Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note ...
exo7 3283
Soit \(F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}\) avec \(Q(a) \ne 0\). Cherche ...
exo7 3285
Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...
exo7 3290
Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 361
Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 368
Pour \(n\in\mathbb{N}\), quel est le reste de la division de \(X^n+X+b\) par ...
exo7 370
Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...
exo7 376
Soit \(n \geq 1\). Déterminer le reste de la division euclidienne de ...
exo7 378
Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...
exo7 3887
On pose ...
exo7 392
Soit \(n\) un entier strictement positif.
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3968
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto x^n(1-x)^n\). En déduire la ...
exo7 3969
Calculer \(\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)\), et ...