Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Équations du premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Résolution de $y' + a(t)y = f(t)$ où $a$ et $f$ sont des fonctions continues sur un intervalle : • résolution de l’équation homogène associée, cas particulier où $a$ est constante, • principe de superposition, • méthode de variation de la constante, • cas particulier où $a$ et $f$ sont constantes. | Pour toute autre équation différentielle du premier ordre, une méthode de résolution doit être fournie. ⇌ On peut montrer des exemples tirés de la physique-chimie : cinétique d’une réaction, charge d’un condensateur, système physique en contact avec un thermostat, … |
exo7 1847
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \[x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f\] ...
exo7 2557
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est rélle de variable réelle, décrire les solutions en précisan ...
exo7 2559
On considère l’équation différentielle \(x'=|x|+|t|\).
exo7 2562
On considère l’équation \(xx''=(x')^2+1\) sur \(\mathbb{R}\).
exo7 4060
Résoudre l’équation : \(y' = |x-y|\). Étudier les problèmes de raccordement.
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4063
Soit \(E=\mathcal{C}(\R^+,\R)\), \(b\in \R\) et ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4069
On considère l’équation différentielle : \((*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0\).
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4074
Soient \({a,b} : \R \to \R\) continues, et \(y,z\) solutions de ...
exo7 4075
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)\) et \(x_0\) un réel ...
exo7 4076
Soit \(\lambda \in \C\) et \(\varphi : \R \to \C\) ...
exo7 4077
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow y' + a(x)y = b(x)\) où \(a,b\) sont des ...
exo7 4081
Soit \(f\) continue et intégrable sur \(\R\). On considère l’équation différentie ...
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4092
Soit \({a,b} : \R \to \R\) continues telles que : \(\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1\) ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4103
On pose \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}\). Former une équation différentielle sa ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4111
\(y-xy' = \sqrt{x^2+y^2}\).
exo7 4113
\(x^2(y'+y^2) = xy-1\).
exo7 4114
\((x^2-y^2-1)y' = 2xy\) : poser \(z = \frac{y}{x^2+y^2-1}\).
exo7 4116
Résoudre numériquement le système ...
exo7 4129
On suppose que \(f\) est bornée par \(M\) et ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4332
Déterminer les fonctions \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\) telles que : ...
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5476
Résoudre sur l’intervalle \(I\) de \(\Rr\) proposé les équations différentielles ...
exo7 5477
Résoudre l’équation différentielle \((1-x^2)y'-2xy=x^2\) sur chacun des intervalles ...
exo7 5478
Résoudre sur \(\}-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\) l’équation différentielle : ...
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 5756
Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\). En développan ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 5881
Résoudre les systèmes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6324
Soit \(f: \Rr ^2 \to \Rr\) donnée par \(f(t,x)= 4\frac{t^3x}{t^4+x^2}\) si ...
exo7 6327
On considère l’équation différentielle (de Bernoulli) sur \(\Rr\) : ...
exo7 6329
Soit \(f\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) de ...
exo7 6336
Calculer les premiers termes de l’itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compri ...