Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Algèbre linéaire 3 – Espace vectoriel $\mathbb{K}^n$ et sous-espaces vectoriels
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On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$. L’espace vectoriel, comme objet général et abstrait, n’est formellement présenté qu’en seconde année.
Ce choix a pour ambition de donner aux étudiants une connaissance et une habitude « pratique » du calcul multidimensionnel qui confèrera à l’introduction de la notion générale d’espace vectoriel un arrière-plan concret. Le but est donc, en première année, de faire maitriser les concepts fondamentaux sans excès de technicité ni d’abstraction en centrant le travail sur le calcul matriciel et les systèmes linéaires. Le lien avec la géométrie est à faire en chaque occasion propice.
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1002
Soient ...
exo7 1003
Soient le triplet \({\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)\) et le triplet ...
exo7 1005
Soit \(E =\R^3\). On définit le système ...
exo7 1006
Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1010
Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1014
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...
exo7 1019
On considère, dans \({\Rr}^4\), les vecteurs : ...
exo7 1020
Soient \(E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}\) et ...
exo7 1024
Déterminer suivant la valeur de \(x \in \Rr\) le rang de la famille de vecteurs ...
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1039
Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1086
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 2780
Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 3297
On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3300
Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...
exo7 3303
Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...