Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Dimension
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dimension. | On admet que toutes les bases d’un sous-espace vectoriel ont même cardinal appelé dimension du sous-espace vectoriel. |
Dans un espace vectoriel de dimension $p \geq 1$ : • Toute famille libre peut se compléter en une base. • Toute famille libre a au plus $p$ éléments. • Une famille libre ayant $p$ éléments est une base. • De toute famille génératrice on peut extraire une base. • Toute famille génératrice a au moins $p$ éléments. • Une famille génératrice ayant $p$ éléments est une base. | Aucune version plus précise de ce théorème n’est exigible. Les démonstrations ne sont pas exigibles On complète ces propositions par l’étude du cas particulier des familles orthogonales de deux ou trois vecteurs de l’espace de dimension 2 ou 3. |
Si $E$ et $F$ sont deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}^n$ avec $F \subset E$, alors $\dim F \leq \dim E$ ; et si les deux dimensions sont égales, alors $F = E$. | |
Rang d’une famille finie de vecteurs. | Le rang peut se calculer pratiquement en adaptant la méthode du pivot aux familles finies de vecteurs. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1002
Soient ...
exo7 1003
Soient le triplet \({\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)\) et le triplet ...
exo7 1005
Soit \(E =\R^3\). On définit le système ...
exo7 1006
Montrer que les vecteurs \(v_1 =(1,-1,i)\), \(v_2=(-1,i,1)\), ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1011
On considère dans \(\Rr^3\), ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1014
Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs ...
exo7 1019
On considère, dans \({\Rr}^4\), les vecteurs : ...
exo7 1020
Soient \(E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}\) et ...
exo7 1024
Déterminer suivant la valeur de \(x \in \Rr\) le rang de la famille de vecteurs ...
exo7 1025
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1039
Soit \(E\) un \({K}\) espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1086
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1466
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3422
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3625
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+y-z\), ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...