Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
a) Généralités sur les fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ensemble de définition. | On se contente de donner ou de rappeler les définitions dans le cadre des fonctions réelles de la variable réelle. |
Représentation graphique d’une fonction $f$ à valeurs réelles. | Graphes des fonctions $x \mapsto f(x) + a$, $x \mapsto f(a - x)$, $x \mapsto f(ax)$, $x \mapsto af(x)$. ⇌ Utilisation d’une bibliothèque graphique Python. |
Notions d’image et d’antécédent. | |
Parité, périodicité. | Interprétation géométrique de ces propriétés. |
Fonctions majorées, minorées, bornées. Monotonie. Opérations algébriques sur les fonctions. Composition de fonctions. |
exo7 5084
Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5151
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...
exo7 5161
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).
(commencer par vérifier que ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5219
Montrer que \(\{r^3,\;r\in\Qq\}\) est dense dans \(\Rr\).
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5403
Trouver un exemple de fonction pèriodique dont le groupe des pèriodes est dense dans \(\Rr\) mais pas ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 5406
Soit \(f\) une application de \([0,1]\) dans ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5472
Etude de \(f(x)=\int_{-1}^{1}\frac{\sin x}{1-2t\cos x+t^2}\;dt\).
exo7 5481
Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(f\) continue sur ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5781
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\Rr\), ...
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 671
Soit \(f\) la fonction réelle à valeurs réelles définie par ...
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 686
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes
...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 834
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...
Images et antécédents
Déterminer les antécédents éventuels de \(-\sqrt{\pi}\), \(0\) et ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Pair, impair ou manque
Déterminer la parité des fonctions suivantes : ...
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Re des composée
Déterminer, pour les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes, le domaine de définition ...