Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
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Dessiner les suites suivantes :
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Soit \((u_n)_{n\in\N}\) une suite de \(\R\). Que pensez-vous des propositions sui ...
exo7 506
Montrer que toute suite convergente est bornée.
exo7 507
Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\Nn}\) définie par ...
exo7 508
Étudier la suite \(u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}\), \(a\) et ...
exo7 509
Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ?
exo7 510
Soit \(l\) un nombre réel. Peut-on dire qu’une suite qui vérifie ...
exo7 511
Construire une suite \(u_n=v_nw_n\) (resp. \(v_n+w_n\)) convergente et telle que ...
exo7 512
Vrai ou faux : il existe une suite \((u_n)\) telle que \((u_{n+1}-u_n)\) tend ver ...
exo7 513
Encadrer la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k^2}\). Q ...
exo7 514
Que peut-on dire d’une suite qui vérifie \(\lim_{n\to\infty}nu_n=0\) ?
exo7 5148
On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...
exo7 515
Étant donné \(k\in\mathbb{R}_+\), que peut-on dire d’une suite \((u_n)\) qui véri ...
exo7 5154
Soient \(x\) un réel. Déterminer ...
exo7 517
Soit \(A\) une partie bornée de \(\Rr\) et \(x\) ...
exo7 518
Étudier la convergence des suites :
...
exo7 519
Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang.
exo7 520
Soit \(H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n\).
exo7 521
Montrer qu’une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente.
exo7 5211
Soit \(A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\Nn^*\right\}\). Déterminer ...
exo7 5212
Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 522
Montrer que \((u_{n})\) converge ssi \((u_{2n}), (u_{2n + 1}), (u_{3n})\) converg ...
exo7 5220
Soient \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite réelle et \((v_n)_{n\in\Nn}\) la suite défin ...
exo7 5221
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite réelle. Montrer que si la suite ...
exo7 5222
Pour \(n\) entier naturel non nul, on pose ...
exo7 5224
Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).
exo7 5225
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5226
Limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5227
Etudier la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 5229
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites définies par la donnée de ...
exo7 523
Etudier la convergence de la suite \(u_n=(-1)^n\dfrac{n+1}{n}\).
exo7 5230
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) les sui ...
exo7 5231
Montrer que les suites définies par la donnée de \(u_0\), \(v_0\) et ...
exo7 5232
Soit \(u\) une suite complexe et \(v\) la suite définie par ...
exo7 5233
Soit \(u\) une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite ...
exo7 5234
Soient \(u\) et \(v\) deux suites de réels de ...
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...
exo7 5237
Etudier les deux suites \(u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\) et ...
exo7 5238
Etudier les deux suites \(u_n=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-2\sqrt{n+1}\) et ...
exo7 524
Soit \(q\) un entier au moins égal à \(2\). Pour tout ...
exo7 5240
On pose \(u_1=1\) et, \(\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\). Montrer qu ...
exo7 5241
Montrer que, pour \(n\geq2\),
...
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5243
Soit \((u_n)=\left(\frac{p_n}{q_n}\right)\) avec \(p_n\in\Zz\) et ...
exo7 5244
Donner un exemple de suite \((u_n)\) divergente, telle que ...
exo7 5245
Soit \(f\) une application injective de \(\Nn\) dans ...
exo7 5246
Soit \(u_n\) l’unique racine positive de l’équation \(x^n+x-1=0\). Etudier la sui ...
exo7 5247
Etude des suites \((u_n)=(\cos na)\) et \((v_n)=(\sin na)\) où ...
exo7 525
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que ...
exo7 5250
Soit \((u_n)\) une suite réelle non majorée. Montrer qu’il existe une suite extraite de ...