Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 1 – Séries réelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sommes partielles, convergence d’une série, somme d’une série convergente. | La série est notée $\sum\limits_{n\geq n_0} u_n$ ou plus succinctement $\sum u_n$. En cas de convergence, la somme de la série est notée $\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty} u_n$. La terminologie de « famille sommable » n’est pas donnée. La notion de reste d’une série est hors programme. |
Combinaison linéaire de séries convergentes. | |
Thèorèmes de convergence pour deux séries à termes positifs $u_n$ et $v_n$ : • théorème de comparaison si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | Les résultats relatifs aux restes et sommes partielles sont hors programme. |
Convergence et somme de la série géométrique $\sum\limits_{n\geq 0} q^n$ (pour $\lvert q\rvert<1$) et des séries « dérivées » $\sum\limits_{n\geq 1} nq^{n-1}$ et $\sum\limits_{n\geq 2} n(n-1)q^{n-2}$. | |
Convergence et somme de la série exponentielle $\sum\limits_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{n!}$. | Résultat admis. |
Convergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ et divergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}$. | L’étude générale des séries de Riemann est hors programme. |
Convergence absolue. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de la série. En vue des applications probabilistes, on admet que la valeur de la somme d’une série absolument convergente ne dépend pas de l’ordre d’énumération de ses termes. L’étude de séries semi-convergentes est hors programme. |
exo7 3282
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4052
Soit \(\alpha \in {]0,1[}\).
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4415
Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4418
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...
exo7 4419
Soient \(\sum u_n\), \(\sum v_n\), \(\sum w_n\) ...
exo7 4420
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...
exo7 4422
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...
exo7 4423
L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...
exo7 4424
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...
exo7 4425
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...
exo7 4427
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...
exo7 4428
Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).
exo7 4430
Calculer les sommes des séries suivantes :
exo7 4431
Convergence et somme de la série de terme général ...
exo7 4432
Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...
exo7 4433
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...
exo7 4434
On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...
exo7 4435
Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4437
Soit \(a \in \R\).
exo7 4438
Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...
exo7 4440
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...
exo7 4441
Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).
exo7 4442
On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...
exo7 4443
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...
exo7 4445
Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...
exo7 4446
Soit la suite de terme général \(u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n\).
exo7 4447
Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).
exo7 4449
Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...
exo7 4450
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...
exo7 4451
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...
exo7 4453
On considère une suite \((u_n)_{n\ge 1}\) telle que la série ...
exo7 4454
Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que ...
exo7 4455
Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...
exo7 4456
On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4457
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...
exo7 4458
Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite positive. On pose ...