Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 388
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 285
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.
exo7 4094
Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...
exo7 4096
Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4099
Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de ...
exo7 4101
Soient \({p,q} : \R \to \R\) continues avec : ...
exo7 4103
On pose \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}\). Former une équation différentielle sa ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4108
Soit une application \(A\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur ...
exo7 4109
Soient \({f,g}: \R \to \R\) continues et \(k>0\), ...
exo7 4110
\(y' = y(1+y)\).
exo7 4111
\(y-xy' = \sqrt{x^2+y^2}\).
exo7 4112
\(xy'+y = xy^3\).
exo7 4113
\(x^2(y'+y^2) = xy-1\).
exo7 4114
\((x^2-y^2-1)y' = 2xy\) : poser \(z = \frac{y}{x^2+y^2-1}\).
exo7 4116
Résoudre numériquement le système ...
exo7 4117
\(y'' = \sin y\), \(y(0) = \frac\pi2\), ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4122
On considère l’équationn différentielle \((E) : x'=x^{2}-t\) et l’ensem ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4129
On suppose que \(f\) est bornée par \(M\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4139
Sur quelle partie \(D\) de \(\R^3\) la fonction ...
exo7 4156
Déterminer les fonctions \(f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4159
Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4235
Soit \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac {t\sin t}{1 + \cos^2t}\,d t\). Effectuer dans ...
exo7 4236
Calculer \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac t{1+\sin t}\,d t\).
exo7 4237
Calculer \(\int_{t=0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t)\,d t\). On remarquera que ...
exo7 4238
On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4242
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4254
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4260
Soit \({f} : {\R} \to {\C}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), ...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4263
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exo7 4265
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exo7 4266
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