Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
e) Calcul des déterminants
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Effet des opérations élémentaires. Cofacteur. Développement par rapport à une ligne ou une colonne. Déterminant d’une matrice triangulaire. | |
Déterminant de Vandermonde. | Lien avec les polynômes de Lagrange. |
Calcul de déterminant
Calculer : ...
Calcul de déterminant
Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de calcul :
...
Calcul de déterminants de matrices triangulaires
Calculer les déterminants suivants : ...
Déterminant d'un produit
En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
Déterminant de Vandermonde
On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : ...
Déterminant nul
Sans calculs (ou presque), justifier que les déterminants suivants sont nuls. ...
exo7 1114
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1116
Soient \(A \in M_p({\Rr})\) et \(B \in M_q({\Rr}).\) Calculer (en fonction de ...
exo7 1117
Sans calcul, montrer que \(\begin{vmatrix} 2 & 0 &4 \\5&2&7\\2&5&5\\ \end{vmatrix}\) est d ...
exo7 1118
Soit \(\Delta (x) = \det (a_{i, j} (x))\) de taille \(n = 2\) ou ...
exo7 1119
Calculer \(\begin{vmatrix} 1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\\ \end{vmatrix}\) et déterminer la co ...
exo7 1121
Calculer \(\begin{vmatrix} a&b&c\\c&a&b\\b&c&a \end{vmatrix}\).
exo7 1122
Calculer ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1125
On note \(a_1,\cdots,a_n\) des réels. Calculer les déterminants \(n\times n\) sui ...
exo7 1126
Montrer que ...
exo7 1127
Soient \(a,\) \(b\) deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant. ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1129
Calculer le déterminant ...
exo7 1130
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1131
Soit \((a,x,y)\in\R^3\). Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 1133
On s’intéresse aux suites réelles \((u_{n})_{n\in\N}\) satisfaisant la relation de récurrence ...
exo7 1134
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1135
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1136
Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer que le déterminant ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1138
Pour \((a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}\), on note \(A_{(a_{0}\dots a_{n})}\) la ma ...
exo7 1139
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1141
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1142
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1143
Soit \((a_{0},...,a_{n-1})\in\C^{n}\), \(x\in\C\). Calculer ...
exo7 1145
Soit \(a\) un réel. On note \(\Delta_n\) le déterminant suivant : ...
exo7 1146
Soit \(a\) un réel différent de 1. Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1148
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1149
Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1153
Montrer que ...
exo7 1162
Soit \(A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})\) telle que : ...
exo7 1172
Calculer les déterminants suivants. ...
exo7 1186
L’objectif de ce problème est de résoudre l’énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la
proprié ...
exo7 1556
Soient \(A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)\) et ...
exo7 1620
On considère la matrice ...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1711
Soit \(a\) un réel. On considère le système à \(n\) équations et ...
exo7 2448
Calculer les déterminants suivants ...