Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces préhilbertiens réels
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La notion de produit scalaire a été étudiée d’un point de vue élémentaire dans l’enseignement secondaire. L’objectif de cette section, qu’il est essentiel d’illustrer par de nombreuses figures, est de la généraliser, afin d’exploiter l’intuition acquise en dimension 2 ou 3 pour résoudre des problèmes posés dans un contexte plus abstrait.
Les familles de polynômes orthogonaux donnent des illustrations pertinentes des notions abordées dans cette section.
- a) Produit scalaire 109
- b) Norme associée à un produit scalaire 142
- c) Orthogonalité 75
- d) Bases orthonormées 41
- e) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie 66
exo7 1502
Soit \(f:\Rr^3\times\Rr^3\to \Rr\) définie de la manière suivante : si ...
exo7 1503
Orthonormaliser dans \(\Rr^{3}\) la famille \(x_{1} = (1, -2, 2)\), ...
exo7 1504
Déterminer une base orthonormée de \(\Rr_{2}[X]\) muni du produit scalaire ...
exo7 1505
On considère la forme bilinéaire \(b\) de \(\R^{4}\) définie par : ...
exo7 1506
On considère un espace euclidien \((E,<>)\).
exo7 1507
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien, \(x_{0}\) un point de ...
exo7 1508
A deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\R_{n}[X]\) ...
exo7 1524
On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1535
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 1548
Soit \(\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})\) une base orthogonal d’un espace euclidien ...
exo7 1561
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1562
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...
exo7 1570
Soit \(E\) euclidien, ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1763
Dans \(\R^2\) euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
exo7 1864
Montrer que : ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1880
\(N:(x,y)\longmapsto |5x+3y|\) est-elle une norme de \(\R^2\) ?
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1882
Soit ...
exo7 1892
Soit \((E,\Vert \quad \Vert )\) un espace vectoriel normé sur \(\Rr\). On pose ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1982
Compléter \(x_{1} = (1, 2, 1)\) en base orthogonale directe de \(\Rr^{3}\) euclid ...
exo7 1994
Calculer les angles :
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2000
Soient \(A, B, C\) les sommets d’un triangle équilatéral de coté \(1\). Détermine ...
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2035
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2066
Soit \(\mathcal{P}\) une parabole de foyer \(F\), de directrice ...
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2222
Notons \(\tilde{A}_k\) la matrice carrée d’ordre \((n-k+1)\) formée des éléments ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2461
Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit ...
exo7 248
Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(n, \Re\) une relation d’équivalence sur ...
exo7 2494
Montrez que \(d(x,y)=|x-y|\) est bien une distance sur l’ensemble des réels.
exo7 2495
Décrire la boule de centre l’origine et de rayon \(1\) dans les espaces suivants: