Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Limite d’une fonction en un point
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Étant donné un point $a$ de $\overline{\mathbb{R}}$ appartenant à $I$ ou extrémité de $I$, limite finie ou infinie d’une fonction en $a$. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Si $f$ possède une limite finie en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$. | Notations $f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} \ell$, $\lim\limits_{x\to a} f(x)$. |
Limite à droite, limite à gauche. | Notations $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x>a}} f(x)$ ou $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$. |
Caractérisation séquentielle de la limite (finie ou infinie). Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition. Passage à la limite d’une inégalité large. Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$),par majoration (limite $-\infty$). Théorème de la limite monotone. |
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1216
Étudier en \(+ \infty\) et \(-\infty\) la fonction ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1226
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) à valeurs dans ...
exo7 1239
Déterminer la limite en \(0\) de ...
exo7 1247
Calculer les limites suivantes ...
exo7 1250
Montrer que pour tout ...
exo7 1254
Étudier les branches infinies des fonctions :
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1276
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1807
Soient \(\alpha>0\) et \(f~:\,\R^2 \to \R\) définie par ...
exo7 2087
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3848
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...
exo7 3866
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue telle que \(f(n) \to +\infty\) lorsq ...
exo7 3873
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction uniformément continue telle que pour tout ...
exo7 3875
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to {\R}\) croissante telle que ...
exo7 3876
On pose : ...
exo7 3877
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 3880
Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on po ...
exo7 3883
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. Montrer qu’il existe ...
exo7 3885
Soit \(f : \R \to \R\) vérifiant : ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3893
Calculer \(\sum_{k=0}^n\,\ch(kx)\).
exo7 3895
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\tanh x = 2\coth 2x - \coth x\). En déduire l ...
exo7 3896
Soit \(x \in \R^*\). Vérifier que \(\frac1{\sh x} = \coth \frac x2 - \coth x\). E ...
exo7 3904
Soit \({f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}\) telle que : ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...