Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
PGCD de deux polynômes dont l’un au moins est non nul. | Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est appelé un PGCD de $A$ et $B$. |
Algorithme d’Euclide. | L’ensemble des diviseurs communs à $A$ et $B$ est égal à l’ensemble des diviseurs d’un de leurs PGCD. Tous les PGCD de $A$ et $B$ sont associés. Un seul est unitaire, on le note $A \wedge B$. |
Relation de Bézout. | Détermination d’un couple de Bézout par l’algorithme d’Euclide étendu. |
PPCM. | Notation $A \vee B$. |
Couple de polynômes premiers entre eux. Théorème de Bézout. Lemme de Gauss. PGCD d’un nombre fini de polynômes, relation de Bézout. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble, premiers entre eux deux à deux. | Adaptation des résultats présentés lors de l’étude de l’arithmétique dans $\mathbb{Z}$. |
exo7 1572
Soient les polynômes \(P=X^4+X^3-2X+1\) et \(Q=X^2+X+1\) de ...
exo7 2267
En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...
exo7 2269
Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...
exo7 2271
Trouver le \(\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)\) dans \(\Zz[x]\).
exo7 2272
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_2[x]\) et sa représentation linéaire ...
exo7 2273
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...
exo7 2274
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz[x]\) de ...
exo7 2276
Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...
exo7 2280
Dans le cours nous avons déjà montré que le produit de polynômes primitifs est aussi primitif et que ...
exo7 2307
Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :
exo7 2308
Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...
exo7 2429
Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3166
Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...
exo7 3179
Trouver \(P,Q \in {\R[X]}\) premiers entre eux tels que \(P^2 + Q^2 = (X^2+1)^2\) ...
exo7 3182
Démontrer qu’il existe \(P,Q \in K_{n-1}[X]\) uniques tels que ...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3201
Calculer le pgcd de \(P\) et \(Q\) pour :
exo7 3202
Montrer que les polynômes \(P\) et \(Q\) suivants sont premiers entr ...
exo7 3208
Soit \(P \in { K[X]}\) tel que les restes des divisions de \(P\) par ...
exo7 3209
Soient \(m,n \in \N^*\). Chercher pgcd\(( X^n-1,X^m-1)\).
exo7 3210
Soient \(P,Q \in { K[X]}\) non nuls et \(D = \text{pgcd}(P,Q)\).
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3212
Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que \(\pgcd(P(X),P(-X))\) et ...
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 3225
Soient \(p,q\in\C\) et \(P(X) = X^5 + pX + q\). Donner une CNS sur ...
exo7 3237
Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...
exo7 3241
Soient \(P,Q \in {\Q[X]}\). Montrer que \(P\) et ...
exo7 3443
Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et ...
exo7 362
Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré 7 tel que \((X-1)^4\) divise ...
exo7 367
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes distincts, ...
exo7 370
Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...
exo7 379
Calculer pgcd\((P,Q)\) lorsque :
exo7 380
Déterminer le pgcd des polynômes suivants :
\(X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1 \text{ et } X^4+2X^3+X+2\),
...
exo7 381
Déterminer \(A,B \in \Rr[X]\) tels que \((X^3+1)A+(X^2+X+1)B=1\).
exo7 382
Montrer qu’il existe deux polynômes : \(U, V\), vérifiant : ...
exo7 383
Soient \(P,Q\) deux polynômes premiers entre eux.
exo7 384
Soit \(n\) un entier positif.
exo7 385
Montrer que les éléments \(X^2+X\), \(X^2-X\), ...
exo7 386
Trouver tous les polynômes \(U\) et \(V\) de ...
exo7 387
Calculer le pgcd \(D\) des polynômes \(A\) et ...
exo7 388
Trouver le pgcd des trois polynômes : ...
exo7 389
Soit les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) : ...
exo7 390
Trouver le pgcd de \(X^{24}-1\) et \(X^{15}-1\) ; le pgcd de ...
exo7 391
Soit \(A\in \mathbb{C}[X]\) et \(B\in\mathbb{C}[X]\).
exo7 392
Soit \(n\) un entier strictement positif.
exo7 393
Déterminer les polynômes \(P\in \mathbb{R}[X]\) et \(Q\in \mathbb{R}[X]\), premie ...
exo7 394
Montrer que les polynômes \(X-1\) et \(X-2\) sont premiers entre eux et en déduir ...
exo7 395
Montrer que les polynômes complexes \(P=X^{1998}+X+1\) et \(Q=X^5+X+1\) sont prem ...
exo7 398
Soit \(P\in \Qq [X]\) un polynôme de degré \(n\).