Programme de mathématiques PC
Endomorphismes des espaces euclidiens
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Cette section vise les objectifs suivants :
- consolider les acquis de la classe de première année sur les espaces préhilbertiens réels ;
- étudier isométries vectorielles et matrices orthogonales, et les décrire en dimension deux en insistant sur les représentations géométriques ;
- approfondir la thématique de réduction des endomorphismes dans le cadre euclidien en énonçant les formes géométrique et matricielle du théorème spectral ;
- introduire la notion d’endomorphisme autoadjoint positif, qui trouvera notamment son application au calcul différentiel d’ordre 2.
Pour les applications courantes en dimension trois, on peut au besoin recourir au produit vectoriel, déjà introduit et connu des étudiants dans l’enseignement des sciences physiques notamment.
La notion d’adjoint est hors programme.
- a) Isométries vectorielles d’un espace euclidien 109
- b) Matrices orthogonales 83
- c) Isométries vectorielles d’un plan euclidien 53
- d) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles 52
exo7 7155
Soit \(ABC\) un triangle direct non rectangle isocèle, et soit \(P\) (resp. ...
exo7 7156
Soient \(M\), \(M_1\), \(M_2\), ...
exo7 7157
Soit \(\mathcal S \subset \R^2\) le graphe de la fonction sinus. Décrire les isométries de ...
exo7 7158
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle et soit \(g\) une isométrie de ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7167
Soient \(AOB\) et \(COD\) deux triangles directs, isocèles rectangles en ...
exo7 7271
Une translation transforme-t-elle une droite en une droite qui lui est parallèle ?
exo7 7273
Soit \(d\) une droite d’un plan euclidien orienté \(E\) de vecteur directeur ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7445
Soit \((E,<.>)\) un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7449
Dans le plan euclidien orienté \(\mathcal{P}\), on considère deux demi-droites ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7459
Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?
exo7 7460
On munit le plan affine euclidien d’un repère orthonormé \((O,i,j)\) et on l’identifie au plan complexe. Écrire à ...
exo7 7461
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7473
Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l’espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
exo7 7476
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7477
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7478
Dans un plan affine euclidien orienté on considère deux points distincts \(O\) et ...
exo7 7481
Construire un triangle équilatéral \(ABC\) connaissant \(A\) et sachant que ...
exo7 7482
Soit \(\mathcal{C}\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7497
On reprend les notations de l’exercice précédent. Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit ...
exo7 7499
Dans un espace affine, quel est le sens de la notation \(1/3\ A+1/3\ B+1/3\ C\) où ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7503
On considère dans le plan euclidien orienté un point \(A\) et la rotation \(r\) d ...
exo7 7504
Dans le plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), on considère ...
exo7 7506
On identifie le plan affine \(\R^2\) muni du produit scalaire standard à l’espace vectoriel ...
exo7 7507
Démontrer que si \(A, B, C\) sont trois points distincts d’un plan affine euclidien ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7509
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension trois et ...
exo7 7511
Écrire la table de toutes les isométries d’un espace affine euclidien de dimension \(3\).
exo7 7513
Soit \(P\) un plan euclidien orienté.
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7804
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...
exo7 7808
Montrer que dans un plan d’Artin il y a exactement deux droites isotropes \(I\) et ...
exo7 7893
Rappeler un isomorphisme de groupes entre \(SO(2)\) et \(S^1\).
exo7 7897
On cherche à décrire le groupe \(G\) des isométries d’un plan affine euclidien qui conservent globalement un trian ...
exo7 7901
Déterminer dans \(M(2,\Rr)\) une matrice \(I\) telle que ...