Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
a) Relations de comparaison : cas des fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Relations de domination, de négligeabilité, d’équivalence en un point $a$ de $\mathbb{R}$ ou $a=\pm\infty$. Lien entre ces relations. | Notations $f(x)\underset{x\to a}{=}O(g(x))$, $f(x)\underset{x\to a}{=}o(g(x))$, $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$. La relation $f(x)\underset{x\to a}{=}o(g(x))$ est définie à partir du quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ sous l’hypothèse que la fonction $g$ ne s’annule pas localement. Pour la relation $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$, on donne les deux formes $\dfrac{f(x)}{g(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow}1$ et $f(x)\underset{x\to a}{=}g(x)+o(g(x))$, en insistant sur l’intérêt de la seconde dans les calculs. Pour mener une étude locale de $f$ au voisinage de $a\neq 0$, on étudie $f(a+h)$ pour $h\to 0$. Traduction à l’aide du symbole $o$ des croissances comparées de $\ln^\beta(x)$, $x^\alpha$, $\mathrm{e}^{\gamma x}$ en $+\infty$, de $\ln^\beta(x)$, $x^\alpha$ en 0. |
Règles usuelles de manipulation des équivalents et des symboles $o$ et $O$. Obtention d’un équivalent par encadrement : si les fonctions réelles $f$, $g$, $h$ vérifient $f\leqslant g\leqslant h$ et si $f(x)\underset{x\to a}{\sim}h(x)$, alors $g(x)\underset{x\to a}{\sim}f(x)$. Propriétés conservées par équivalence : signe, limite. |
Equivalents : vrai ou faux
\(x+1 \underset{x\longrightarrow+\infty}{\sim} x\)
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Equivalents simples
- \question{ ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1215
Montrer que si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) al ...
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1220
Soit \((f_{n})_{n\in \Nn}\) une suite de fonctions réelles. Montrer qu’il existe ...
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1261
Soient \(u,v,f\) définies par : ...
exo7 1263
Soient \(f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}\) et ...
exo7 1278
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...
exo7 1279
Donner un développement : \[\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}).\]
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1282
Étude de : \[f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\] ...
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 2332
Sans les calculer, dire si les intégrales suivantes sont convergentes ou divergentes : ...
exo7 2338
Dire si les intégrales suivantes sont convergentes (en discutant éventuellement suivant la valeur des paramètres) : ...
exo7 2715
Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3986
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4028
On pose : \(f(x) = 1/(1+x)\), \(g(x) = e^{-x}\), ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4038
On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...
exo7 4039
Soit \(f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x\).
exo7 4042
Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...
exo7 4047
Simplifier \(\arccos(1-2x^2)\), en trouver un équivalent pour \(x \to 0\), puis d ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4050
Soit \(f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.}\) Montrer que ...
exo7 4051
Chercher un équivalent simple en \(0^+\) de ...
exo7 4052
Soit \(\alpha \in {]0,1[}\).
exo7 4053
Soit \(f(x) = \ln(1+x) - x\).
exo7 4090
Soit \(f : \R \to\R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...