Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 107
- b) Développements limités 138
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Développement limité
Donner le développement limité de \(\ln(1+x)\) au voisinage de \(0\) à l’ordre ...
Développement limité
Donner le développement limité de \(e^x\) et de \(\sin(x)\) au voisinage de ...
Equivalents : vrai ou faux
\(x+1 \underset{x\longrightarrow+\infty}{\sim} x\)
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Equivalents simples
-
...
Equivalents simples
- \question{ ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
exo7 1199
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels et ...
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1215
Montrer que si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) al ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1220
Soit \((f_{n})_{n\in \Nn}\) une suite de fonctions réelles. Montrer qu’il existe ...
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1237
Donner le développement limité en \(0\) des fonctions :
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1239
Déterminer la limite en \(0\) de ...
exo7 1240
Faire un développement limité ou asymptotique en \(a\) à l’ordre \(n\) de :
exo7 1241
Développements limités en \(0\) de :
exo7 1242
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur \(\epsilon (x)\) pour que ces fonctions soient des ...
exo7 1243
Développement limité en \(1\) à l’ordre \(3\) de ...
exo7 1244
Donner un développement limité à l’ordre \(2\) de ...
exo7 1245
Donner un développements limité en \(0\) à l’ordre \(10\) de :
exo7 1246
Donner le DL2 en \(+\infty\) de : ...
exo7 1247
Calculer les limites suivantes ...
exo7 1248
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 1249
Étudier la position du graphe de l’application \(x\mapsto \ln(1+x+x^2)\) par rapport à sa tangente en ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1252
Montrer que pour tout ...
exo7 1253
Soit \(f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}\) pour ...
exo7 1254
Étudier les branches infinies des fonctions :
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1259
Soit \(n\in \Nn^{*},x\neq 0,\) on définit : ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1261
Soient \(u,v,f\) définies par : ...
exo7 1262
Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto \dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\) ...
exo7 1263
Soient \(f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}\) et ...
exo7 1265
Déterminer:
exo7 1267
Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1278
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...
exo7 1279
Donner un développement : \[\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}).\]
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)