Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Endomorphismes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identité, homothéties. | Notations $\mathrm{id}_E$, $\mathrm{id}$. |
Opérations sur les endomorphismes : combinaison linéaire, composition. | Notation $u^k$ pour $u\in\mathscr{L}(E)$ et $k\in\mathbb{N}$. |
Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation par $p^2=p$, par $s^2=\mathrm{id}$. | On incite les étudiants à se représenter géométriquement ces notions par des figures en dimension 2 et 3. |
Automorphismes. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. Notation $u^k$ pour $u\in\mathrm{GL}(E)$ et $k\in\mathbb{Z}$. |
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5593
Soit \(E\) un espace vectoriel. Soit \(G\) un sous-groupe fini de ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5599
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel non nul de dimension finie ...
exo7 5600
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient ...
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5797
Trouver tous les endomorphismes de \(\Rr^3\) vérifiant ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5821
L’espace de dimension \(3\) est rapporté à un repère orthonormé \((O,i,j,k)\). On ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6389
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine et \(\tau_l\) la réflexion par rappo ...
exo7 6391
Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 7033
Soient \(a_1 ,...,a_n\) des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins ...
exo7 7048
On donne un cercle \(\mathcal C\) (sans son centre).
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7078
On donne deux points \(A\) et \(B\). Soit ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 7085
Soit \(ABC\) un triangle. Construire un carré dont un sommet appartient à ...
exo7 7087
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux segments parallèles de longueurs différentes. Mo ...
exo7 7088
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7091
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7092
On donne trois cercles disjoints, de rayons distincts et à l’extérieur les uns des autres. Chacune des trois paires de cercles fournit deux tangent ...
exo7 7094
Soient \(D\) et \(D'\) deux droites. Soient ...
exo7 7095
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles (non aplatis) sans sommet ...
exo7 7096
Soient \(f\) et \(g\) deux homothéties de même rapport et de centres distincts. D ...
exo7 7099
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7103
Construire un octogone régulier inscrit dans un carré donné (c’est-à-dire un octogone dont quatre des huit cotés s’appuient sur les cotés du carré) ...
exo7 7109
Soit \(BOA\) un triangle indirect isocèle en \(O\), ...
exo7 7110
Soit \(ABCD\) un carré, \(E\) le symétrique de ...
exo7 7111
On considère trois droites parallèles \(D_1\), \(D_2\) et ...
exo7 7135
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7272
Soit \(E\) un plan euclidien et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7273
Soit \(d\) une droite d’un plan euclidien orienté \(E\) de vecteur directeur ...