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On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...

On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...

Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...

Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...

Étudier la convergence des séries de terme général :

Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...

Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?

Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...

Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...

Soient \(\sum u_n\), \(\sum v_n\), \(\sum w_n\) ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...

On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...

L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...

Pour \(n \in \N^*\) on note \(p_n\) le nombre de chiffres de l’écriture décimale ...

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...

Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).

On pose \(u_n = \sum_{k=n}^\infty \frac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\). Étudier la convergence de la série ...

Calculer les sommes des séries suivantes :

Convergence et somme de la série de terme général ...

Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...

Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soit \(a \in \R\).

Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...

Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).

On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...

Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).

Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...

On considère une suite \((u_n)_{n\ge 1}\) telle que la série ...

Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite réelle positive décroissante telle que ...

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...

On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...

Soit \((u_n)_{n\ge 1}\) une suite positive. On pose ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme géné ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...